Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và có thể tích $V_1$. Gọi $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác $B_1{C}_1{D}_1,C_1{D}_1{A}_1,D_1{A}_1{B}_1,A_1{B}_1{C}_1$ và có thể tích $V_2$ … cứ như vậy cho tứ diện $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$ có thể tích $V_n$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính giá trị của biểu thức $P=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(V+V_1+\mathrm{...}+V_n\right).$

Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây? 

Đặt $a={\log }_{2}3;b={\log }_{3}5.$

Biểu diễn ${\log }_{20}12$ theo a, b.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}\text{ khi }x\le \text{1}\\ ax+1\text{ khi }x>\text{1}\end{array}\right..$Tìm a để hàm số liên tục tại x=1

Cho ba số thực dương x,y,z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a\left(a\ne 1\right)$ thì ${\log }_{a}x,{\log }_{\sqrt{a}}y,{\log }_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Tính giá trị biểu thức $P=\frac{1959x}{y}+\frac{2019y}{z}+\frac{60z}{x}.$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD,AB//CD, AB=2AD. M là một điểm thuộc cạnh AD, $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAB). Biết diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ bằng $\frac{2}{3}$ diện tích tam giác SAB. Tính tỉ số $k=\frac{MA}{MD}.$

Cho tứ diện đều cạnh a, điểm I nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ I đến tất cả các mặt của tứ diện.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình $\cos 2x-4\cos x-m=0$ có nghiệm.