Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC và có thể tích $V_{1}$ . Gọi $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ là tứ diện với các đỉnh lần lượt là trọng tâm tam giác $B_{1} C_{1} D_{1}, C_{1} D_{1} A_{1}, D_{1} A_{1} B_{1}, A_{1} B_{1} C_{1}$ và có thể tích $V_{2}$ … cứ như vậy cho tứ diện $A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}$ có thể tích $V_{n}$ với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tính giá trị của biểu thức $P = \lim_{n \to + \infty} (V + V_{1} + ... + V_{n}) .$

A. $\frac{27}{26} V$

B. $\frac{1}{27} V$

C. $\frac{9}{8} V$

D. $\frac{82}{81} V$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp 20 đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của AC và đặt độ dài AB = x

Vì $B_{1}, D_{1}$ là trọng tâm tam giác $A B C, A C D \Rightarrow \frac{M D_{1}}{M B} = \frac{M B_{1}}{M D} = \frac{2}{3}$

Suy ra:

$B_{1} D_{1} / / B D \Rightarrow \frac{B_{1} D_{1}}{B D} = \frac{M_{1} D_{1}}{M B} = \frac{1}{3} \Rightarrow B_{1} D_{1} = \frac{B D}{3}$

Tương tự, ta được $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ là tứ diện đều cạnh $\frac{x}{3} \Rightarrow \frac{V}{V_{1}} = 27 \Leftrightarrow V_{1} = \frac{V}{3^{3}}$

Khi đó $V_{2} = \frac{V_{1}}{3^{3}} = \frac{V}{3^{3.3}}; V_{4} = \frac{V}{3^{3.4}} \to V_{n} - \frac{V}{3^{3 n}}$

Suy ra $V + V_{1} + ... + V_{n}$

$= V (1 + \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{3^{6}} + \frac{1}{3^{9}} + ... + \frac{1}{3^{3 n}}) = V . S$

Tống S là tổng của cấp số nhân với:

$u_{1} = 1; q = \frac{1}{27} \Rightarrow S = {\frac{1 - (\frac{1}{27})}{1 - \frac{1}{27}}}^{n} = \frac{27. (1 - 27^{- n})}{26}$

Vậy $P = \lim_{x \to \infty} \frac{V .27 (1 - 27^{- n})}{26} = \frac{27}{26} V$

vì $\lim_{x \to + \infty} 27^{- n} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{27^{n}} = 0$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. $(7 π; \frac{15 π}{2}) .$

B. $(- \frac{7 π}{2}; - 3 π) .$

C. $(\frac{19 π}{2}; 10 π) .$

D. $(- 6 π; - 5 π) .$

Lời giải

Hàm số y = sin x đồng biến trên D khi y' = cos x > 0, \[\forall x \in D\].

Lại có bất phương trình cos x > 0 có nghiệm: \[x \in \left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\,,\,\,k \in \mathbb{Z}\].

Với k = 5 thì \[x \in \left( {\frac{{19\pi }}{2};\,\,\frac{{21\pi }}{2}} \right)\].

Mà \[\left( {\frac{{19\pi }}{2};\,\,10\pi } \right) \subset \left( {\frac{{19\pi }}{2};\,\,\frac{{21\pi }}{2}} \right)\].

Do đó hàm số y = sin x đồng biến trên \[\left( {\frac{{19\pi }}{2};\,\,10\pi } \right)\].

Trên các đoạn \[\left( {7\pi ;\,\,\frac{{15\pi }}{2}} \right)\]; \[\left( { - \frac{{7\pi }}{2};\,\, - 3\pi } \right)\]; \[\left( { - 6\pi ;\,\, - 5\pi } \right)\] ta kiểm tra được cos x < 0.

Do đó hàm số y = sin x nghịch biến trên các khoảng này.

Đáp án C.

Câu 2