Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD và CE. Biết AD/DC = 2/3, EA/EB = 5/6. Tính các cạnh của tam giác ABC, biết chu vi của tam giác là 45cm. 

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A, ta được:

$B{C}^2=A{C}^{+}A{B}^2\Rightarrow BC{2}^{=}{15}^2+{20}^2\iff B{C}^2={25}^2$ ⇔ BC = 25( cm )

Đặt BD = x ⇒ DC = 25 - x

Áp dụng định lý Py 0 ta – go vào hai tam giác vuông AHB và AHC, ta được:

Trừ theo vế các đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

${15}^2-x^2-{20}^2+(25-x{)}^2=0$ ⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9( cm )

Nên HC = 25 - 9 = 16( cm )

Thay x = 9 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: $H{A}^2={15}^2-9^2=122$ ⇔ HA = 12( cm )

Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác AHB, ta được:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

Áp dụng tính chất đường chất đường phân giác AE của tam giác ACH, ta được:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

Áp dụng tính chất đường phân giác AD và BI và tam giác ABC và tam giác ABD.

Ta có: DI/IA = DB/AB = BD/c    ( 1 )

Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được:

Suy ra: