Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), đáy ABC thỏa mãn điều kiện:cotA+cotB+cotC2=BCAB.AC+CABA.BC+ABCA.CB.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp k...

Đáp án B.*Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHKGọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trong mặt phẳng (ABC), kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt vuông góc với AC và AB tại E, F. Do DA⊥d,DA⊥d' (doDA⊥ABC) nên d⊥DAC,d'⊥DAB. Gọi I là giao điểm của d, d’ thì I chính là tâm của mặt cầu chứa hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, AKC. Hay nói cách khác, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK, bán kính R = IA cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC (do IA = IB = IC).*Một số hệ thức cần nhớ trong tam giácCho ΔABC, gọi AH là đường cao H∈BC. R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giac, p là nửa chu vi. Kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c, diện tích SΔABC=S. 1. Định lý cosin: a2=b2+c2−2bccosA;b2=a2+c2−2accosB;c2=a2+b2−2abcosC.2. Định lý sin: asinA=bsinB=csinC=2R. 3. Độ dài trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C (Kí hiệu lần lượt là ma,mb,mc):ma2=b2+c22−a24;mb2=a2+c22−b24;mc2=a2+b22−c24.4. Các công thức tính diện tích tam giác:S=12a.ha=12b.hb=12c.hcS=12bcsinA=12acsinB=12absinCS=abc4R=pr=pp−ap−bp−c.5. Định lý tang: a−ba+b=tanA−B2tanA+B2;b−cb+c=tanB−C2tanB+C2;c−ac+a=tanC−A2tanC+A2.6. Định lý cotang: cotA=b2+c2−a24S;cotB=a2+c2−b24S;cotC=a2+b2−c24S.→cotA+cotB+cotC=a2+b2+c24S.*Phân tích dữ kiện đề bài: cotA+cotB+cotC2=BCAB.AC+CABA.BC+ABCA.CB⇔AB2+BC2+CA28SΔABC=BC2+CA2+AB2AB.AC.BC⇔8SΔABC=AB.AC.BC⇔8.AB.AC.BC4R=AB.AC.BC⇔R=2=IA.Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK là:V=43πR3=43π23=32π3 (đvtt).

Câu hỏi:

11/08/2020 745

Cho tứ diện ABCD có $A D ⊥ (A B C)$ , đáy ABC thỏa mãn điều kiện:
$\begin{array}{l} \frac{\cot A + \cot B + \cot C}{2} \\ = \frac{B C}{A B . A C} + \frac{C A}{B A . B C} + \frac{A B}{C A . C B} . \end{array}$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khói chóp A.BCHK

A. $V = \frac{4 π}{3} .$

B. $V = \frac{32 π}{3} .$

C. $V = \frac{8 π}{3} .$

D. $V = \frac{4 π}{3 \sqrt{3}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

*Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trong mặt phẳng (ABC), kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt vuông góc với AC và AB tại E, F. Do $D A ⊥ d, D A ⊥ d'$ (do $D A ⊥ (A B C)$ ) nên $d ⊥ (D A C), d' ⊥ (D A B) .$ Gọi I là giao điểm của d, d’ thì I chính là tâm của mặt cầu chứa hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, AKC. Hay nói cách khác, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK, bán kính R = IA cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ (do IA = IB = IC).

*Một số hệ thức cần nhớ trong tam giác

Cho $Δ A B C,$ gọi AH là đường cao $H \in B C .$ R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giac, p là nửa chu vi. Kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c, diện tích $S_{Δ A B C} = S .$

1. Định lý cosin:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A; \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B; \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C . \end{array}$

2. Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R .$

3. Độ dài trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C (Kí hiệu lần lượt là $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ ):

\begin{array}{l} {m_{a}}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}; \\ {m_{b}}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}; \\ {m_{c}}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} . \end{array}

4. Các công thức tính diện tích tam giác:

\{\begin{cases} S = \frac{1}{2} a . h_{a} = \frac{1}{2} b . h_{b} = \frac{1}{2} c . h_{c} \\ S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C \\ S = \frac{a b c}{4 R} = p r = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{cases} .

5. Định lý tang:

$\begin{array}{l} \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan \frac{A - B}{2}}{\tan \frac{A + B}{2}}; \\ \frac{b - c}{b + c} = \frac{\tan \frac{B - C}{2}}{\tan \frac{B + C}{2}}; \\ \frac{c - a}{c + a} = \frac{\tan \frac{C - A}{2}}{\tan \frac{C + A}{2}} . \end{array}$

6. Định lý cotang:

$\begin{array}{l} \cot A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}; \\ \cot B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}; \\ \cot C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S} . \\ \to \cot A + \cot B + \cot C \\ = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} . \end{array}$

*Phân tích dữ kiện đề bài:

$\begin{array}{l} \frac{\cot A + \cot B + \cot C}{2} \\ = \frac{B C}{A B . A C} + \frac{C A}{B A . B C} + \frac{A B}{C A . C B} \\ \Leftrightarrow \frac{A B^{2} + B C^{2} + C A^{2}}{8 S_{Δ A B C}} \\ = \frac{B C^{2} + C A^{2} + A B^{2}}{A B . A C . B C} \\ \Leftrightarrow 8 S_{Δ A B C} = A B . A C . B C \\ \Leftrightarrow 8. \frac{A B . A C . B C}{4 R} = A B . A C . B C \\ \Leftrightarrow R = 2 = I A . \end{array}$

Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK là:

$\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} π R^{3} \\ = \frac{4}{3} π 2^{3} = \frac{32 π}{3} \end{array}$ (đvtt).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp của các tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên hai tam giác trong X. Tính xác suất để chọn được 1 tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H) (Kết quả làm tròn đến số thập phân thứ ba)

A. 0,374

B. ,0375

C. 0,376.

D. 0,377

Lời giải

Đáp án B.

*Đa giác lồi (H) có 22 cạnh nên cũng có 22 đỉnh. Số tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác (H) là $C_{22}^{3} = 1540$ (tam giác)

Suy ra số phàn tử của không gian mẫu $Ω$ là $n (Ω) = C_{1540}^{2} .$

*Số tam giác của một cạnh là cạnh của đa giác (H) là 22.18 = 396 (tam giác).

Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa giác (H) là 22 (tam giác)

Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H) là:

$1540 - 396 - 22 = 1122$ (tam giác).

Gọi A là biến cố “Hai tam giác được chọn có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H)”

Số phần tử của A là $n (A) = C_{396}^{1} . C_{1122}^{1} .$

*Vậy xác suất cần tìm là

$\begin{array}{l} P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} \\ = \frac{C_{396}^{1} . C_{1122}^{1}}{C_{1540}^{2}} \\ = \frac{748}{1995} \approx 0,375. \end{array}$

Câu 2

Cho dãy số tăng a, b, c theo thứ tự thành lập cấp số nhân, đồng thời $a, b + 8, c$ tạo thành cấp số cộng và $a, b + 8, c + 64$ lập thành cấp số nhân. Khi đó giá trị của $a - b + 2 c$ bằng

A. $a - b + 2 c = \frac{184}{9} .$

B. $a - b + 2 c = 64.$

C. $a - b + 2 c = \frac{92}{9} .$

D. $a - b + 2 c = 32.$

Lời giải

Đáp án B

Từ giả thiết ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} b^{2} = a c \\ a + c = 2 (b + 8) \\ {(b + 8)}^{2} = a (c + 64) \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} = a c \\ a + c = 2 (b + 8) \\ {(b + 8)}^{2} = b^{2} + 64 a \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{2} = a c \\ c = 7 a + 8 \\ b = 4 a - 4 \end{cases} \end{array}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} {(4 a - 4)}^{2} = a (7 a + 8) \\ c = 7 a + 8 \\ b = 4 a - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 9 a^{2} - 40 a + 16 = 0 \\ c = 7 a + 8 \\ b = 4 a - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4; b = 12; c = 36 \\ a = \frac{4}{9}; b = \frac{- 20}{9}; c = \frac{100}{9} \end{cases}$

Do a,b,c tạo thành một dãy số tăng nên $a = 4; b = 12; c = 36$ .

Suy ra

$\begin{array}{l} a - b + 2 c \\ = 4 - 12 + 2.36 = 64. \end{array}$

Câu 3

Nguyên hàm $\int \sin \frac{x}{2} d x$ bằng

A. $2 \cos \frac{x}{2} + C .$

B. $- 2 \cos \frac{x}{2} + C .$

C. $- \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + C .$

D. $\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + C .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $[0; 3], f (0) = 2$ và $\int_{0}^{3} f' (x) d x = 5.$ Tính f(3)

A. f(3) = 2

B.f(3) = -3

C.f(3) = 0

D.f(3) = 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $f (x) = 2 (m + 1) x^{3} + 2 m x^{3} - 2 (m + 1) x - 2 m$ , (m là tham số khác $- \frac{3}{4}$ ) và $g (x) = - x^{4} + x^{2}$ là

A.3

B.4

C.2

D.1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho số phức $z = a + b i$ thỏa mãn điều kiện $|z^{2} + 4| = 2 |z| .$ Đặt $P = 8 (b^{2} - a^{2}) - 12$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = {(|z| - 2)}^{2} .$

B. $P = {({|z|}^{2} - 4)}^{2} .$

C. $P = {(|z| - 4)}^{2} .$

D. $P = {({|z|}^{2} - 2)}^{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho tứ diện ABCD có $B C = C D = B D = 2 a,$ $A C = a \sqrt{2}, A B = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) có số đo là

A. 90^o

B. 60^o

C. 45^o.

D. 30^o

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), đáy ABC thỏa mãn điều kiện:cotA+cotB+cotC2=BCAB.AC+CABA.BC+ABCA.CB.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khói chóp A.BCHK

Cho dãy số tăng a, b, c theo thứ tự thành lập cấp số nhân, đồng thời a,b+8,c tạo thành cấp số cộng và a,b+8,c+64 lập thành cấp số nhân. Khi đó giá trị của a−b+2c bằng

Nguyên hàm ∫sinx2dx bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên [0;3],f(0)=2 và ∫03f'(x)dx=5.Tính f(3)

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số f(x)=2(m+1)x3+2mx3−2(m+1)x−2m, (m là tham số khác −34) và g(x)=−x4+x2 là

Cho số phức z=a+bi thỏa mãn điều kiện z2+4=2z. Đặt P=8(b2−a2)−12. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho tứ diện ABCD có BC=CD=BD=2a, AC=a2,AB=a.Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) có số đo là

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho dãy số tăng a, b, c theo thứ tự thành lập cấp số nhân, đồng thời $a, b + 8, c$ tạo thành cấp số cộng và $a, b + 8, c + 64$ lập thành cấp số nhân. Khi đó giá trị của $a - b + 2 c$ bằng

Nguyên hàm $\int \sin \frac{x}{2} d x$ bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $[0; 3], f (0) = 2$ và $\int_{0}^{3} f' (x) d x = 5.$ Tính f(3)

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $f (x) = 2 (m + 1) x^{3} + 2 m x^{3} - 2 (m + 1) x - 2 m$ , (m là tham số khác $- \frac{3}{4}$ ) và $g (x) = - x^{4} + x^{2}$ là

Cho số phức $z = a + b i$ thỏa mãn điều kiện $|z^{2} + 4| = 2 |z| .$ Đặt $P = 8 (b^{2} - a^{2}) - 12$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho tứ diện ABCD có $B C = C D = B D = 2 a,$ $A C = a \sqrt{2}, A B = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) có số đo là