Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), đáy ABC thỏa mãn điều kiện:cotA+cotB+cotC2=BCAB.AC+CABA.BC+ABCA.CB.Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp k...

Đáp án B.*Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHKGọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trong mặt phẳng (ABC), kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt vuông góc với AC và AB tại E, F. Do DA⊥d,DA⊥d' (doDA⊥ABC) nên d⊥DAC,d'⊥DAB. Gọi I là giao điểm của d, d’ thì I chính là tâm của mặt cầu chứa hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, AKC. Hay nói cách khác, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK, bán kính R = IA cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC (do IA = IB = IC).*Một số hệ thức cần nhớ trong tam giácCho ΔABC, gọi AH là đường cao H∈BC. R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giac, p là nửa chu vi. Kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c, diện tích SΔABC=S. 1. Định lý cosin: a2=b2+c2−2bccosA;b2=a2+c2−2accosB;c2=a2+b2−2abcosC.2. Định lý sin: asinA=bsinB=csinC=2R. 3. Độ dài trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C (Kí hiệu lần lượt là ma,mb,mc):ma2=b2+c22−a24;mb2=a2+c22−b24;mc2=a2+b22−c24.4. Các công thức tính diện tích tam giác:S=12a.ha=12b.hb=12c.hcS=12bcsinA=12acsinB=12absinCS=abc4R=pr=pp−ap−bp−c.5. Định lý tang: a−ba+b=tanA−B2tanA+B2;b−cb+c=tanB−C2tanB+C2;c−ac+a=tanC−A2tanC+A2.6. Định lý cotang: cotA=b2+c2−a24S;cotB=a2+c2−b24S;cotC=a2+b2−c24S.→cotA+cotB+cotC=a2+b2+c24S.*Phân tích dữ kiện đề bài: cotA+cotB+cotC2=BCAB.AC+CABA.BC+ABCA.CB⇔AB2+BC2+CA28SΔABC=BC2+CA2+AB2AB.AC.BC⇔8SΔABC=AB.AC.BC⇔8.AB.AC.BC4R=AB.AC.BC⇔R=2=IA.Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK là:V=43πR3=43π23=32π3 (đvtt).

Câu hỏi:

11/08/2020 644

Cho tứ diện ABCD có $A D ⊥ (A B C)$ , đáy ABC thỏa mãn điều kiện:
$\begin{array}{l} \frac{\cot A + \cot B + \cot C}{2} \\ = \frac{B C}{A B . A C} + \frac{C A}{B A . B C} + \frac{A B}{C A . C B} . \end{array}$
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BD và BC. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khói chóp A.BCHK

A. $V = \frac{4 π}{3} .$

B. $V = \frac{32 π}{3} .$

Đáp án chính xác

C. $V = \frac{8 π}{3} .$

D. $V = \frac{4 π}{3 \sqrt{3}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

*Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trong mặt phẳng (ABC), kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt vuông góc với AC và AB tại E, F. Do $D A ⊥ d, D A ⊥ d'$ (do $D A ⊥ (A B C)$ ) nên $d ⊥ (D A C), d' ⊥ (D A B) .$ Gọi I là giao điểm của d, d’ thì I chính là tâm của mặt cầu chứa hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AHC, AKC. Hay nói cách khác, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK, bán kính R = IA cũng chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ (do IA = IB = IC).

*Một số hệ thức cần nhớ trong tam giác

Cho $Δ A B C,$ gọi AH là đường cao $H \in B C .$ R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giac, p là nửa chu vi. Kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c, diện tích $S_{Δ A B C} = S .$

1. Định lý cosin:

$\begin{array}{l} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A; \\ b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B; \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C . \end{array}$

2. Định lý sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R .$

3. Độ dài trung tuyến xuất phát từ các đỉnh A, B, C (Kí hiệu lần lượt là $m_{a}, m_{b}, m_{c}$ ):

$\begin{array}{l} {m_{a}}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}; \\ {m_{b}}^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}; \\ {m_{c}}^{2} = \frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} . \end{array}$

4. Các công thức tính diện tích tam giác:

$\{\begin{cases} S = \frac{1}{2} a . h_{a} = \frac{1}{2} b . h_{b} = \frac{1}{2} c . h_{c} \\ S = \frac{1}{2} b c \sin A = \frac{1}{2} a c \sin B = \frac{1}{2} a b \sin C \\ S = \frac{a b c}{4 R} = p r = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \end{cases} .$

5. Định lý tang:

$\begin{array}{l} \frac{a - b}{a + b} = \frac{\tan \frac{A - B}{2}}{\tan \frac{A + B}{2}}; \\ \frac{b - c}{b + c} = \frac{\tan \frac{B - C}{2}}{\tan \frac{B + C}{2}}; \\ \frac{c - a}{c + a} = \frac{\tan \frac{C - A}{2}}{\tan \frac{C + A}{2}} . \end{array}$

6. Định lý cotang:

$\begin{array}{l} \cot A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S}; \\ \cot B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S}; \\ \cot C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S} . \\ \to \cot A + \cot B + \cot C \\ = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} . \end{array}$

*Phân tích dữ kiện đề bài:

$\begin{array}{l} \frac{\cot A + \cot B + \cot C}{2} \\ = \frac{B C}{A B . A C} + \frac{C A}{B A . B C} + \frac{A B}{C A . C B} \\ \Leftrightarrow \frac{A B^{2} + B C^{2} + C A^{2}}{8 S_{Δ A B C}} \\ = \frac{B C^{2} + C A^{2} + A B^{2}}{A B . A C . B C} \\ \Leftrightarrow 8 S_{Δ A B C} = A B . A C . B C \\ \Leftrightarrow 8. \frac{A B . A C . B C}{4 R} = A B . A C . B C \\ \Leftrightarrow R = 2 = I A . \end{array}$

Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCHK là:

$\begin{array}{l} V = \frac{4}{3} π R^{3} \\ = \frac{4}{3} π 2^{3} = \frac{32 π}{3} \end{array}$ (đvtt).

Bình luận

Câu 1:

Cho đa giác lồi (H) có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp của các tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của (H). Chọn ngẫu nhiên hai tam giác trong X. Tính xác suất để chọn được 1 tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác (H) và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác (H) (Kết quả làm tròn đến số thập phân thứ ba)

A. 0,374

B. ,0375

C. 0,376.

D. 0,377

Xem đáp án » 11/08/2020 11,120

Câu 2:

Cho dãy số tăng a, b, c theo thứ tự thành lập cấp số nhân, đồng thời $a, b + 8, c$ tạo thành cấp số cộng và $a, b + 8, c + 64$ lập thành cấp số nhân. Khi đó giá trị của $a - b + 2 c$ bằng

A. $a - b + 2 c = \frac{184}{9} .$

B. $a - b + 2 c = 64.$

C. $a - b + 2 c = \frac{92}{9} .$

D. $a - b + 2 c = 32.$

Xem đáp án » 11/08/2020 5,857

Câu 3:

Nguyên hàm $\int \sin \frac{x}{2} d x$ bằng

A. $2 \cos \frac{x}{2} + C .$

B. $- 2 \cos \frac{x}{2} + C .$

C. $- \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + C .$

D. $\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + C .$

Xem đáp án » 11/08/2020 3,355

Câu 4:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $f (x) = 2 (m + 1) x^{3} + 2 m x^{3} - 2 (m + 1) x - 2 m$ , (m là tham số khác $- \frac{3}{4}$ ) và $g (x) = - x^{4} + x^{2}$ là

A.3

B.4

C.2

D.1

Xem đáp án » 11/08/2020 1,969

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $[0; 3], f (0) = 2$ và $\int_{0}^{3} f' (x) d x = 5.$ Tính f(3)

A. f(3) = 2

B.f(3) = -3

C.f(3) = 0

D.f(3) = 7

Xem đáp án » 11/08/2020 1,782

Câu 6:

Cho số phức $z = a + b i$ thỏa mãn điều kiện $|z^{2} + 4| = 2 |z| .$ Đặt $P = 8 (b^{2} - a^{2}) - 12$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = {(|z| - 2)}^{2} .$

B. $P = {({|z|}^{2} - 4)}^{2} .$

C. $P = {(|z| - 4)}^{2} .$

D. $P = {({|z|}^{2} - 2)}^{2} .$

Xem đáp án » 11/08/2020 1,387

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD có $B C = C D = B D = 2 a,$ $A C = a \sqrt{2}, A B = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) có số đo là

A. 90^o

B. 60^o

C. 45^o.

D. 30^o

Xem đáp án » 11/08/2020 1,179

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho dãy số tăng a, b, c theo thứ tự thành lập cấp số nhân, đồng thời $a, b + 8, c$ tạo thành cấp số cộng và $a, b + 8, c + 64$ lập thành cấp số nhân. Khi đó giá trị của $a - b + 2 c$ bằng

Nguyên hàm $\int \sin \frac{x}{2} d x$ bằng

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số $f (x) = 2 (m + 1) x^{3} + 2 m x^{3} - 2 (m + 1) x - 2 m$ , (m là tham số khác $- \frac{3}{4}$ ) và $g (x) = - x^{4} + x^{2}$ là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên $[0; 3], f (0) = 2$ và $\int_{0}^{3} f' (x) d x = 5.$ Tính f(3)

Cho số phức $z = a + b i$ thỏa mãn điều kiện $|z^{2} + 4| = 2 |z| .$ Đặt $P = 8 (b^{2} - a^{2}) - 12$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho tứ diện ABCD có $B C = C D = B D = 2 a,$ $A C = a \sqrt{2}, A B = a .$ Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) có số đo là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Nguyên hàm ∫sinx2dx<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∫</mo><mi>sin</mi><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi></math> bằng

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Nguyên hàm $\int \sin \frac{x}{2} d x$ bằng