Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$:x-my+z+2m-1=0;$\left(\beta \right)$:mx+y-mz+m+2=0. Gọi $\Delta$ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy). Biết rằng với mọi số thực m thay đổi thì Δ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Tính bán R của đường tròn đó.

Có bao nhiêu số nguyên m < 10 để hàm số $y=|x^3-mx+1|$ có 5 điểm cực trị.

Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số $y=ln(x^3+mx+2)$ đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Cho các số thực dương $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số thực dương $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng $a_1=b_1$ và $a_5=\frac{176}{17}{b}_5$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{a_2+a_3+a_4}{b_2+b_3+b_4}$ bằng

Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn $[f\text{'}(x){]}^2+f(x)f\text{'}\text{'}(x)\ge 1,\forall x\in [0;1]$ và $f^2\left(0\right)+f\left(0\right).f^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{3}{2}$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân ${\int }_0^1{f}^2\left(x\right)dx$ bằng

Hình nón có góc ở đỉnh bằng $60°$ và chiều cao bằng $\sqrt{3}$. Độ dài đường sinh của hình nón là

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây ?

Một quan sát viên C đứng cách đường đua Ot một khoảng OC=1km(OC$\perp$Ot). Hai vận động viên A,B xuất phát tại O và chạy cùng lúc (sang phải, như hình vẽ) trên đường đua. Góc $\theta =\widehat{ACB}$ được gọi là góc nhìn từ C đến hai vận động viên. Giả sử B luôn chạy nhanh hơn A bốn lần. Khi góc nhìn từ C đến hai vận động viên lớn nhất, tính độ dài đoạn AB.