Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;2;-3), $B(\frac{3}{2};\frac{3}{2};-\frac{1}{2})$, C(1;1;4), D(5;3;0). Gọi ($S_1$) là mặt cầu tâm A bán kính bằng 3 và ($S_2$) là mặt cầu tâm B bán kính bằng $\frac{3}{2}$. Có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu $\left(S_1\right), \left(S_2\right)$ và song song với đường thẳng CD.

Cho một lưới ô vuông gồm 16 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ có kích thước 1x1 (mét) như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B, con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A. Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển một cách ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển một cách ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có cùng vận tốc di chuyển là 1 mét/phút. Tính xác suất để hai con kiến gặp nhau trên đường đi.

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $z^2+mz+10=0$ có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ thỏa mãn $\left|z_1\right|+\left|z_2\right|=2\sqrt{10}$.

Biết hàm số $f\left(x\right)=x^3+x^2+mx$ có một cực trị bằng 1. Cực trị còn lại của hàm số đã cho bằng

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{13-x^2}{2}$. Hỏi có bao nhiêu cặp số thực (a;b) với b>a>0 sao cho trên đoạn [a;b] hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2a và giá trị lớn nhất bằng 2b.

Với $\frac{3\pi }{4}<a<\pi$. Biết bốn điểm $P\left(\cos a; {\cos }^{2}a\right),$ $Q\left(cot a; co{t}^{2}a\right),$ $R\left(\sin a; {\sin }^{2}a\right),$ $S\left(\tan a; {\tan }^{2}a\right)$ là các đỉnh của một hình thang. Tính sin⁡2a.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=4x-x^3$, trục hoành và hai đường thẳng x=0;x=2 (tham khảo hình vẽ bên). Đường thẳng $y=(a-\sqrt{b})x$ (với a,b là các số nguyên dương) chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau. Giá trị của biểu thức a+b bằng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt phẳng qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng OA có phương trình là