Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có $A (x_{0}; 0; 0)$ , $B (- x_{0}; 0; 0)$ , $C (0; 1; 0)$ và $B' (- x_{0}; 0; y_{0})$ , trong đó $x_{0}; y_{0}$ là các số thực dương và thỏa mãn $x_{0} + y_{0} = 4$ . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $A B C . A' B' C'$ bằng bao nhiêu?

A. $R = \frac{3 \sqrt{6}}{2}$

B. $R = \frac{29}{4}$

C. $R = \frac{\sqrt{41}}{4}$

D. $R = \frac{\sqrt{29}}{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D.

Ta tìm được $A' (x_{0}; 0; y_{0}), C' (0; 1; y_{0})$ .

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AC' và song song với B'C thì $(P) : y_{0} x + x_{0} z - x_{0} y_{0} = 0$ .

Do đó

$\begin{array}{l} d (A C', B' C) = d (C, (P)) \\ = \frac{x_{0} y_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2} + y_{0}^{2}}} \leq \frac{\sqrt{2}}{2} . \sqrt{x_{0} y_{0}} \leq \frac{\sqrt{2}}{4} (x_{0} + y_{0}) \\ = \sqrt{2} \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $x_{0} = y_{0} = 2$ .

Tam giác ABC có $A B = 4; A C = B C = \sqrt{5}$ nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $r = \frac{5}{2}$ . Ta lại có $B B' = 2$ nên mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có bán kính $R = \sqrt{r^{2} + \frac{1}{4} B B'^{2}} = \frac{\sqrt{29}}{2}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x - m}{x + 1}$ , với $m \neq - 2$ . Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. $\min_{[1; 3]} f (x) = \frac{2 - m}{2}$ khi $m > - 2$

B. $\min_{[1; 3]} f (x) = \min \{\frac{2 - m}{2}; \frac{6 - m}{4}\}$

C. $\max_{[1; 3]} f (x) = \max \{\frac{2 - m}{2}; \frac{6 - m}{4}\}$

D. $\max_{[1; 3]} f (x) = \frac{6 - m}{4}$ khi $m < - 2$

Lời giải

Đáp án D.

Ta có $\max_{[1; 3]} f (x) = \max \{\frac{2 - m}{2}; \frac{6 - m}{4}\}$ .

Do đó

$\begin{array}{l} \max_{[1; 3]} f (x) = \frac{6 - m}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{6 - m}{4} \geq \frac{2 - m}{2} \\ \Leftrightarrow m \geq - 2 \end{array}$