Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox, cạnh huyền OM không đổi, $OM=R\left(R>0\right)$ . Tính theo R giá trị lớn nhất của thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox. 

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đồ thị là đường gấp khúc như hình vẽ bên. Tính ${\int }_0^{9}f\left(x\right)dx$.

Cho một tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a $a>0$. Tìm theo a giá trị lớn nhất của diện tích của tam giác vuông đó.

Giả sử hàm chỉ mức mức sản xuất của một hãng DVD trong một ngày là $q(m,n)=m^{\frac{2}{3}}{n}^{\frac{1}{3}}$, trong đó m là số lượng nhân viên và n là số lượng lao động chính. Mỗi ngày hãng phải sản xuất được ít nhất 40 sản phẩm để đáp ứng nhu cầu của khách hàng. Biết rằng tiền lương một ngày cho một nhân viên là 16 USD và cho một lao động chính là 27 USD. Tìm giá trị nhỏ nhất của chi phí trong một ngày của hãng sản xuất này.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ có đồ thị như hình vẽ bên. Trong bốn đường cong dưới đây, đường nào là đồ thị của hàm số $y=\left(\left|x\right|+1\right)$?

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích V của khối chóp C.A'B'FE.

Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\frac{x^2}{2}$ và đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng $2\sqrt{2}$. Biết $S=a\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$, trong đó $a,b,c\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*},(b,c)=1$. Tính tổng $a+b+c$.

Biết ${\int }_0^{x^2}f\left(t\right)dt=x\cos \left(\mathrm{\pi x}\right)\forall x\in \mathrm{ℝ}$ . Tính $f\left(4\right)$.