Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của ly (tính phần chứa nước). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỉ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước lúc đó bằng bao nhiêu?

Đáp án D

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của chiếc ly lần lượt là h và R

Thể tích của chiếc ly $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$ .

 Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là $\frac{h}{3}$  và $\frac{R}{3}$  .

Thể tích của lượng nước $V_1=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{R}{3}\right)}^2\left(\frac{h}{3}\right)=\frac{V}{27}$  .

Thể tích phần không chứa nước$V_2=\frac{26V}{27}$ .

* Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón. Gọi h ' và  R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước. Ta có $\frac{R^{\text{'}}}{R}=\frac{h^{\text{'}}}{h}$  và phần thể tích hình nón không chứa nước là

$\begin{array}{l}{V}_2=\frac{26}{26}.V\\ \iff \frac{1}{3}\pi {R^{\text{'}}}^2.h^{\text{'}}=\frac{26}{27}.\left(\frac{1}{3}\pi R^{2}h\right)\\ \iff \frac{{R^{\text{'}}}^2.h^{\text{'}}}{R^2.h}=\frac{26}{27}\\ \iff {\left(\frac{h^{\text{'}}}{h}\right)}^3=\frac{26}{27}\\ \iff \frac{h^{\text{'}}}{h}=\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\end{array}$

Vậy tỷ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước trong trường hợp úp ngược ly là

$\begin{array}{l}\frac{h-h^{\text{'}}}{h}=1-\frac{h^{\text{'}}}{h}\\ =1-\frac{\sqrt[3]{26}}{3}\\ =\frac{3-\sqrt[3]{26}}{3}\end{array}$