Trong khai triển 1+2xn=a0+a1x+...+anxn, n∈ℕ*. Tìm số lớn nhất trong các hệ số a0,a1,...,an, biết a0+a12+...+an2n=4096 A. 126720 B. 213013 C. 130272 D. 130127

Đáp án ATheo đề ta có 1+2xn=a0+a1x+....+anxn .Thay x=12 ta có 1+1n=a0+a12+a222+...+an2n=4096.⇔2n=4096⇔n=12Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức 1+2x12 là an=C12n.2n ;an−1=C12n−1.2n−1 Xét bất phương trình với ẩn số n ta có C12n−1.2n−1≤C12n.2n .⇔12!n−1!.13−n!≤12!.2n!.12−n!⇔113−n≤2n⇔n≤263Do đó bất đẳng thức đúng với n∈0;1;2;3;4;5;6;7;8 và dấu đẳng thức không xảy ra.Ta được a0<a1<a2<...<a8 và a8>a9>a10>a11>a12 .Vậy giá trị lớn nhất của hệ số trong khai triển nhị thức là C128.28=126720 .

Câu hỏi:

18/08/2020 4,920

Trong khai triển ${(1 + 2 x)}^{n} =$ $a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}, n \in ℕ^{*}$ . Tìm số lớn nhất trong các hệ số $a_{0}, a_{1},..., a_{n}$ , biết $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$

A. 126720

B. 213013

C. 130272

D. 130127

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Theo đề ta có ${(1 + 2 x)}^{n}$ $= a_{0} + a_{1} x + .... + a_{n} x^{n}$ .

Thay $x = \frac{1}{2}$ ta có ${(1 + 1)}^{n}$ $= a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}}$ $= 4096$ .

$\Leftrightarrow 2^{n} = 4096 \Leftrightarrow n = 12$

Hệ số của số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức ${(1 + 2 x)}^{12}$ là $a_{n} = C_{12}^{n} {.2}^{n}$ ; $a_{n - 1} = C_{12}^{n - 1} {.2}^{n - 1}$

Xét bất phương trình với ẩn số n ta có $C_{12}^{n - 1} {.2}^{n - 1} \leq C_{12}^{n} {.2}^{n}$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{12!}{(n - 1)! . (13 - n)!} \leq \frac{12! .2}{n! . (12 - n)!} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{13 - n} \leq \frac{2}{n} \\ \Leftrightarrow n \leq \frac{26}{3} \end{array}$

Do đó bất đẳng thức đúng với $n \in \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$ và dấu đẳng thức không xảy ra.

Ta được $a_{0} < a_{1} < a_{2} < ... < a_{8}$ và $a_{8} > a_{9} > a_{10} > a_{11} > a_{12}$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hệ số trong khai triển nhị thức là $C_{12}^{8} {.2}^{8} = 126720$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phương trình $\sin x = \cos x$ chỉ có các nghiệm là

A. $x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

B. $x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

C. $x = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

D. $x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

Lời giải

Đáp án A

$\begin{array}{l} \sin x = \cos x \\ \Leftrightarrow \cos (\frac{π}{2} - x) = \cos x \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} - x + k 2 π \\ x = x - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} \\ \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, (k \in ℤ) \end{array}$

Câu 2

Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của ly (tính phần chứa nước). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỉ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước lúc đó bằng bao nhiêu?

A. $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} .$

B. $\frac{3 - \sqrt[3]{25}}{3} .$

C. $\frac{1}{9} .$

D. $\frac{3 - \sqrt[3]{26}}{3} .$

Lời giải

Đáp án D

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của chiếc ly lần lượt là h và R

Thể tích của chiếc ly $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là $\frac{h}{3}$ và $\frac{R}{3}$ .

Thể tích của lượng nước $V_{1} = \frac{1}{3} π {(\frac{R}{3})}^{2} (\frac{h}{3}) = \frac{V}{27}$ .

Thể tích phần không chứa nước $V_{2} = \frac{26 V}{27}$ .

* Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón. Gọi h ' và R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước. Ta có $\frac{R^{'}}{R} = \frac{h^{'}}{h}$ và phần thể tích hình nón không chứa nước là

$\begin{array}{l} V_{2} = \frac{26}{26} . V \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} π {R^{'}}^{2} . h^{'} = \frac{26}{27} . (\frac{1}{3} π R^{2} h) \\ \Leftrightarrow \frac{{R^{'}}^{2} . h^{'}}{R^{2} . h} = \frac{26}{27} \\ \Leftrightarrow {(\frac{h^{'}}{h})}^{3} = \frac{26}{27} \\ \Leftrightarrow \frac{h^{'}}{h} = \frac{\sqrt[3]{26}}{3} \end{array}$