Trong không gian Oxyz cho các điểm $A\left(1;0;-1\right)$,  $B\left(3;4;-2\right)$, $C\left(4;-1;1\right)$ và $D\left(3;0;3\right)$. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Đáp án B

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC).

Kẻ HM, HN, HP lần lượt vuông góc với AB, BC, CA trong mặt phẳng (ABC).

Sử dụng tính chất ba đường cvuoong góc ta dễ chứng minh được SM, SN, SP lần lượt vuông góc với AB, BC, CA. Từ đây suy ra $\widehat{SMH},\widehat{SNH},\widehat{SPH}$  là các gốc tạo bởi mặt bên và mặt đáy (ABC). Do đó  $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}={60}^0$ .

Suy ra $HM=HN=HP\left(=SH.\cot {60}^0\right)$  nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Sử dụng công thức Hê rông ta tính được $S_{ABC}=6\sqrt{6}{a}^2$

Và ta tính được bán kính đường trọn nội tiếp  $r=\frac{S}{p}=\frac{6\sqrt{6}{a}^2}{9a}$$=\frac{2\sqrt{6}a}{3}$

Ta cũng có$SH=r.\tan {60}^0=$$\frac{2\sqrt{6}a}{3}.\sqrt{3}=2\sqrt{2}a$

Vậy $V_{SABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}$$=\frac{1}{3}.2\sqrt{2}a.6\sqrt{6}{a}^2=8\sqrt{3}{a}^3$

Đáp án B

*Xếp 12 khách vào 3 toa tàu (có thể có toa không có khách): Có $3^{12}$  cách.

* Trừ đi các trường hợp có KHÔNG QUÁ 2 toa có khách: $-C_3^2{.2}^{12}$

(Chọn ra hai toa có $C_3^2$  cách. Sau đó xếp tùy ý 12 khách vào 2 toa đã chọn ra này, tức là có thể có một trong hai toa không có khách).

Nhưng như vậy ta đã trừ đi các trường hợp chỉ có 1 toa có khách đến 2 lần nên phải cộng lại số này: $+C_3^1{.1}^{12}$

* Vậy cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là $3^{12}-C_3^2{.2}^{12}+C_3^1{.1}^{12}=519156$  cách.

Do đó chọn đáp án B.