Biết rằng hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-m}$ (m là tham số thực) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Giá trị của m bằng bao nhiêu ?

Đáp án A.

Ta có

$$\begin{gathered} \frac{n-1}{n^2+3n+2}=\frac{n-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{A}{n+1}+\frac{B}{n+2} \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A+B=1\\ 2A+B=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}A=-2\\ B=3\end{array}\right.. \end{gathered}$$ 

Lại có $3u_{n+1}=2u_n-\frac{2}{n+1}+\frac{3}{n+2}$

$\iff 3\left(u_{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=2\left(u_n-\frac{1}{n+1}\right).$

Đặt $v_n=u_n-\frac{1}{n+1}\Rightarrow v_1=\frac{1}{2}$

và $v_n=u_n-\frac{1}{n+1}\stackrel{}{\to }{v}_n$

là cấp số nhân với $v_1=\frac{1}{2};q=\frac{1}{3}$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow v_n=\frac{1}{2}.{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=\frac{3}{4}.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n \\ \to u_n=v_n+\frac{1}{n+1}=\frac{3}{4}.{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+\frac{1}{n+1} \\ =\frac{2^{n-2}}{3^{n-1}}+\frac{1}{n+1}. \end{gathered}$$

 $$\begin{gathered} \Rightarrow u_{2018}=\left(\frac{2^{n-2}}{3^{n-1}}+\frac{1}{n+1}\right)\left|\begin{array}{l}\\ {}_{n=2018}\end{array}\right. \\ =\frac{2^{2016}}{3^{2017}}+\frac{1}{2019}. \end{gathered}$$

Đáp án D.

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 2 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{59}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{59}$ 

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 2 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{58}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{58}$ 

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 3 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{57}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{57}$

…………………………………….

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 59 là

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^1+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^1$ 

Do đó sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là

$T=\mathrm{200.000.}\left(1+0,55\%\right).$

$\frac{1-{\left(1+0,55\%\right)}^{60}}{1-\left(1+0,55\%\right)}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{59}$ 

$\left[1+2{\left(1+0,55\%\right)}^{-1}+3{\left(1+0,55\right)}^{-2}+\mathrm{...59}{\left(1+0,55\right)}^{-58}\right]$ 

Mặt khác ta có:

$$\begin{gathered} x+x^2+x^3+\mathrm{...}+x^n \\ =x\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{x-x^{n+1}}{1-x} \end{gathered}$$

Đạo hàm 2 vế ta có:

$$\begin{gathered} 1+2x+3x^2+\mathrm{...}+n{x}^{n-1} \\ =\frac{\left[1-\left(n+1\right)x^n\right]\left(1-x\right)+x-x^{n-1}}{1-x} \end{gathered}$$ 

Với $x=\frac{1}{\left(1+0,55\right)};n=59$ ta có:

$1+2{\left(1+0,55\%\right)}^{-1}+3{\left(1+0,55\right)}^{-2}+\mathrm{....59}{\left(1+0,55\right)}^{-58}\approx 1436$

Vậy $T=539447312$ đồng