Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hang tháng. Lãi suất tiết kiệm gửi góp cố định 0,55%/tháng. Lần đầu tiên người đó gửi 2.000.000 đồng. Cứ sau mỗi tháng người đó gửi nhiều hơn số tiền đã gửi trước đó là 200.000 đồng. Hỏi sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

Đáp án D.

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 2 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{59}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{59}$ 

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 2 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{58}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{58}$ 

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 3 là:

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^{57}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{57}$

…………………………………….

Số tiền gốc là lãi thu được khi gửi tiền vào tháng thứ 59 là

$\mathrm{2.000.000}{\left(1+0,55\%\right)}^1+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^1$ 

Do đó sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là

$T=\mathrm{200.000.}\left(1+0,55\%\right).$

$\frac{1-{\left(1+0,55\%\right)}^{60}}{1-\left(1+0,55\%\right)}+200.000{\left(1+0,55\%\right)}^{59}$ 

$\left[1+2{\left(1+0,55\%\right)}^{-1}+3{\left(1+0,55\right)}^{-2}+\mathrm{...59}{\left(1+0,55\right)}^{-58}\right]$ 

Mặt khác ta có:

$$\begin{gathered} x+x^2+x^3+\mathrm{...}+x^n \\ =x\frac{1-x^n}{1-x}=\frac{x-x^{n+1}}{1-x} \end{gathered}$$

Đạo hàm 2 vế ta có:

$$\begin{gathered} 1+2x+3x^2+\mathrm{...}+n{x}^{n-1} \\ =\frac{\left[1-\left(n+1\right)x^n\right]\left(1-x\right)+x-x^{n-1}}{1-x} \end{gathered}$$ 

Với $x=\frac{1}{\left(1+0,55\right)};n=59$ ta có:

$1+2{\left(1+0,55\%\right)}^{-1}+3{\left(1+0,55\right)}^{-2}+\mathrm{....59}{\left(1+0,55\right)}^{-58}\approx 1436$

Vậy $T=539447312$ đồng