Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn đẳng thức x+2x.fx=f'x2,∀x∈1;4. Biết rằng f1=32,tính I=∫14fxdx? A. I=118645. B. I=117445. C. I=122245. D. I=120145...

Đáp án A.Vì y=fx là hàm số đồng biến trên 1;4⇒fx≥f1=32.Khi đó:x+2x.fx=f'x2⇔x.2fx+1=f'x⇔f'x2fx+1=x (*).Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:∫f'x2fx+1dx=∫xdx=23xx+C (1).Đặt t=2fx+1⇔dt=f'x2fx+1dx⇒∫f'x2fx+1dx=∫dt=t (2).Từ (1), (2) suy ra 2fx+1=23xx+C mà f1=23⇒2.32+1=C+23⇔C=43.Do đó:2fx+1=23xx+43⇔fx=1223xx+432−1. Vậy ∫14fxdx=118645.

Câu hỏi:

22/08/2020 282

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 4],$ đồng biến trên đoạn $[1; 4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2}, \forall x \in [1; 4] .$ Biết rằng $f (1) = \frac{3}{2},$ tính $I = \int_{1}^{4} f (x) d x ?$

A. $I = \frac{1186}{45} .$

B. $I = \frac{1174}{45} .$

C. $I = \frac{1222}{45} .$

D. $I = \frac{1201}{45} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A.

Vì $y = f (x)$ là hàm số đồng biến trên $[1; 4] \Rightarrow f (x) \geq f (1) = \frac{3}{2} .$

Khi đó:

$x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x . [2 f (x) + 1]} = f' (x) \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} = \sqrt{x} (*) .$

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:

$\int \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C (1) .$

Đặt $t = \sqrt{2 f (x) + 1}$

$\Leftrightarrow d t = \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x \Rightarrow \int \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int d t = t (2) .$

Từ (1), (2) suy ra $\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ mà $f (1) = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{2. \frac{3}{2} + 1} = C + \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = \frac{4}{3} .$

Do đó:

$\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{2} [{(\frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3})}^{2} - 1] .$

Vậy $\int_{1}^{4} f (x) d x = \frac{1186}{45} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{2} \ln x$ là

A. $y_{C T} = - \frac{1}{2 e} .$

B. $y_{C T} = \frac{1}{2 e} .$

C. $y_{C T} = \frac{1}{e} .$

D. $y_{C T} = - \frac{1}{e} .$

Lời giải

Đáp án A.

Ta có: $D = (0; + \infty) .$ Đạo hàm:

$y' = 2 x \ln x + x^{2} . \frac{1}{x} = 2 x \ln x + x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (l o a i) \\ 2 \ln x + 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow x = \frac{1}{\sqrt{e}} .$

Do $y " = 2 \ln x + 3 \Rightarrow y " (\frac{1}{\sqrt{e}}) > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $y_{C T} = y (\frac{1}{\sqrt{e}}) = - \frac{1}{2 e} .$

Khi đó $y_{C T} = y (\frac{1}{\sqrt{e}}) = - \frac{1}{2 e} .$

Câu 2

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình $\log_{3}^{2} x - 3 \log_{3} x + 2 m - 7 = 0$ có hai nghiệm thực $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 72.$

A. $m = \frac{61}{2} .$

B. $m = 3.$

C. Không tồn tại.

D. $m = \frac{9}{2} .$

Lời giải

Đáp án D.

Đặt $t = \log_{3} x \Rightarrow t^{2} - 3 t + 2 m - 7 = 0$

PT có 2 nghiệm khi $Δ = 9 - 4 (2 m - 7) = 37 - 8 m > 0 \Rightarrow$ PT có 2 nghiệm $t_{1}; t_{2} \Rightarrow \{\begin{cases} \log_{3} x_{1} = t_{1} \\ \log_{3} x_{2} = t_{2} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} = 3^{t_{1}} \\ x_{2} = 3^{t_{2}} \end{cases}$

Khi đó theo định lý Viet ta có: $\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 3 \\ t_{1} t_{2} = 2 m - 7 \end{cases}$

Do:

$(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 72 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + 3 (x_{1} + x_{2}) = 63 \Leftrightarrow 3^{t_{1}} {.3}^{t_{2}} + 3 (3^{t_{1}} + 3^{t_{2}}) = 63 \Leftrightarrow 3^{t_{1} + t_{2}} + 3 (3^{t_{1}} + 3^{t_{2}}) = 63 \Leftrightarrow 3^{t_{1}} + 3^{t_{2}} = 12 \Leftrightarrow 3^{3 - t_{2}} + 3^{t_{2}} = 12$

Đặt:

$u = 3^{t_{2}} \Rightarrow \frac{27}{u} + u = 12 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} u = 3 \\ u = 9 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} t_{2} = 1 \Rightarrow t_{1} = 2 \\ t_{2} = 2 \Rightarrow t_{1} = 1 \end{array} \Rightarrow t_{1} t_{2} = 2 \Rightarrow m = \frac{9}{2} (t / m) .$

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

A. $S_{\min} = 8 \sqrt{2} .$

B. $S_{\min} = 4 \sqrt{2} .$

C. $S_{\min} = 8.$

D. $S_{\min} = 16.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} .$ Có bao nhiêu số nguyên $b \in (- 10; 10)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B (0; b) ?$

A. 17

B. 9

C. 2

D. 16

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ $\vec{a} = (2; 3; 1), \vec{b} = (5; 7; 0), \vec{c} = (3; - 2; 4)$ và $\vec{d} = (4; 12; - 3) .$ Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ là ba vecto không đồng phẳng

B. $2 \vec{a} + 3 \vec{b} = \vec{d} - 2 \vec{c} .$

C. $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{d} + \vec{c}| .$

D. $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Khi đặt $t = \log_{5} x$ thì bất phương trình $\log_{5}^{2} (5 x) - 3 \log_{\sqrt{5}} x - 5 \leq 0$ trở thành bất phương trình nào dưới đây?

A. $t^{2} - 6 t - 4 \leq 0.$

B. $t^{2} - 6 t - 5 \leq 0.$

C. $t^{2} - 4 t - 4 \leq 0.$

D. $t^{2} - 3 t - 5 \leq 0.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Giải bất phương trình ${(\frac{3}{4})}^{x^{2} - 4} \geq 1$ ta được tập nghiệm là T. Tìm T

A. $T = [- 2; 2] .$

B. $T = [2; + \infty) .$

C. $T = (- \infty; - 2] .$

D. $T = (- \infty; - 2] \cup [2; + \infty) .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn đẳng thức x+2x.fx=f'x2,∀x∈1;4. Biết rằng f1=32,tính I=∫14fxdx?

Giá trị cực tiểu của hàm số y=x2lnx là

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình log32x−3log3x+2m−7=0có hai nghiệm thực x1,x2 thỏa mãn x1+3x2+3=72.

Cho hàm số y=x+1x−1 có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Cho đồ thị C:y=x3−3x2. Có bao nhiêu số nguyên b∈−10;10 để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B0;b?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ a→=2;3;1,b→=5;7;0,c→=3;−2;4và d→=4;12;−3. Mệnh đề nào sau đây sai?

Khi đặt t=log5x thì bất phương trình log525x−3log5x−5≤0 trở thành bất phương trình nào dưới đây?

Giải bất phương trình 34x2−4≥1 ta được tập nghiệm là T. Tìm T

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 4],$ đồng biến trên đoạn $[1; 4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2}, \forall x \in [1; 4] .$ Biết rằng $f (1) = \frac{3}{2},$ tính $I = \int_{1}^{4} f (x) d x ?$

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{2} \ln x$ là

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình $\log_{3}^{2} x - 3 \log_{3} x + 2 m - 7 = 0$ có hai nghiệm thực $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 72.$

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Cho đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} .$ Có bao nhiêu số nguyên $b \in (- 10; 10)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B (0; b) ?$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ $\vec{a} = (2; 3; 1), \vec{b} = (5; 7; 0), \vec{c} = (3; - 2; 4)$ và $\vec{d} = (4; 12; - 3) .$ Mệnh đề nào sau đây sai?

Khi đặt $t = \log_{5} x$ thì bất phương trình $\log_{5}^{2} (5 x) - 3 \log_{\sqrt{5}} x - 5 \leq 0$ trở thành bất phương trình nào dưới đây?

Giải bất phương trình ${(\frac{3}{4})}^{x^{2} - 4} \geq 1$ ta được tập nghiệm là T. Tìm T