Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn đẳng thức x+2x.fx=f'x2,∀x∈1;4. Biết rằng f1=32,tính I=∫14fxdx? A. I=118645. B. I=117445. C. I=122245. D. I=120145...

Đáp án A.Vì y=fx là hàm số đồng biến trên 1;4⇒fx≥f1=32.Khi đó:x+2x.fx=f'x2⇔x.2fx+1=f'x⇔f'x2fx+1=x (*).Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:∫f'x2fx+1dx=∫xdx=23xx+C (1).Đặt t=2fx+1⇔dt=f'x2fx+1dx⇒∫f'x2fx+1dx=∫dt=t (2).Từ (1), (2) suy ra 2fx+1=23xx+C mà f1=23⇒2.32+1=C+23⇔C=43.Do đó:2fx+1=23xx+43⇔fx=1223xx+432−1. Vậy ∫14fxdx=118645.

Câu hỏi:

22/08/2020 223

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 4],$ đồng biến trên đoạn $[1; 4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2}, \forall x \in [1; 4] .$ Biết rằng $f (1) = \frac{3}{2},$ tính $I = \int_{1}^{4} f (x) d x ?$

A. $I = \frac{1186}{45} .$

Đáp án chính xác

B. $I = \frac{1174}{45} .$

C. $I = \frac{1222}{45} .$

D. $I = \frac{1201}{45} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A.

Vì $y = f (x)$ là hàm số đồng biến trên $[1; 4] \Rightarrow f (x) \geq f (1) = \frac{3}{2} .$

Khi đó:

$x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2} \Leftrightarrow \sqrt{x . [2 f (x) + 1]} = f' (x) \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} = \sqrt{x} (*) .$

Lấy nguyên hàm 2 vế của (*), ta được:

$\int \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C (1) .$

Đặt $t = \sqrt{2 f (x) + 1}$

$\Leftrightarrow d t = \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x \Rightarrow \int \frac{f' (x)}{\sqrt{2 f (x) + 1}} d x = \int d t = t (2) .$

Từ (1), (2) suy ra $\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$ mà $f (1) = \frac{2}{3} \Rightarrow \sqrt{2. \frac{3}{2} + 1} = C + \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = \frac{4}{3} .$

Do đó:

$\sqrt{2 f (x) + 1} = \frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3} \Leftrightarrow f (x) = \frac{1}{2} [{(\frac{2}{3} x \sqrt{x} + \frac{4}{3})}^{2} - 1] .$

Vậy $\int_{1}^{4} f (x) d x = \frac{1186}{45} .$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{2} \ln x$ là

A. $y_{C T} = - \frac{1}{2 e} .$

B. $y_{C T} = \frac{1}{2 e} .$

C. $y_{C T} = \frac{1}{e} .$

D. $y_{C T} = - \frac{1}{e} .$

Xem đáp án » 22/08/2020 14,139

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình $\log_{3}^{2} x - 3 \log_{3} x + 2 m - 7 = 0$ có hai nghiệm thực $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 72.$

A. $m = \frac{61}{2} .$

B. $m = 3.$

C. Không tồn tại.

D. $m = \frac{9}{2} .$

Xem đáp án » 22/08/2020 3,261

Câu 3:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

A. $S_{\min} = 8 \sqrt{2} .$

B. $S_{\min} = 4 \sqrt{2} .$

C. $S_{\min} = 8.$

D. $S_{\min} = 16.$

Xem đáp án » 22/08/2020 1,305

Câu 4:

Cho đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} .$ Có bao nhiêu số nguyên $b \in (- 10; 10)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B (0; b) ?$

A. 17

B. 9

C. 2

D. 16

Xem đáp án » 22/08/2020 1,265

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ $\vec{a} = (2; 3; 1), \vec{b} = (5; 7; 0), \vec{c} = (3; - 2; 4)$ và $\vec{d} = (4; 12; - 3) .$ Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ là ba vecto không đồng phẳng

B. $2 \vec{a} + 3 \vec{b} = \vec{d} - 2 \vec{c} .$

C. $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{d} + \vec{c}| .$

D. $\vec{d} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c} .$

Xem đáp án » 22/08/2020 1,014

Câu 6:

Khi đặt $t = \log_{5} x$ thì bất phương trình $\log_{5}^{2} (5 x) - 3 \log_{\sqrt{5}} x - 5 \leq 0$ trở thành bất phương trình nào dưới đây?

A. $t^{2} - 6 t - 4 \leq 0.$

B. $t^{2} - 6 t - 5 \leq 0.$

C. $t^{2} - 4 t - 4 \leq 0.$

D. $t^{2} - 3 t - 5 \leq 0.$

Xem đáp án » 22/08/2020 676

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 \end{cases}$ là:

A. $\vec{m} = (2; - 1; 1) .$

B. $\vec{m} = (2; - 1; 0) .$

C. $\vec{m} = (2; 1; 1) .$

D. $\vec{m} = (- 2; - 1; 0) .$

Xem đáp án » 22/08/2020 537

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 4],$ đồng biến trên đoạn $[1; 4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2}, \forall x \in [1; 4] .$ Biết rằng $f (1) = \frac{3}{2},$ tính $I = \int_{1}^{4} f (x) d x ?$

Nhà sách VIETJACK:

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{2} \ln x$ là

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình $\log_{3}^{2} x - 3 \log_{3} x + 2 m - 7 = 0$ có hai nghiệm thực $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 72.$

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Cho đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} .$ Có bao nhiêu số nguyên $b \in (- 10; 10)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B (0; b) ?$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ $\vec{a} = (2; 3; 1), \vec{b} = (5; 7; 0), \vec{c} = (3; - 2; 4)$ và $\vec{d} = (4; 12; - 3) .$ Mệnh đề nào sau đây sai?

Khi đặt $t = \log_{5} x$ thì bất phương trình $\log_{5}^{2} (5 x) - 3 \log_{\sqrt{5}} x - 5 \leq 0$ trở thành bất phương trình nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 \end{cases}$ là:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số y=fx có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4, đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn đẳng thức x+2x.fx=f'x2,∀x∈1;4. Biết rằng f1=32,tính I=∫14fxdx?

Nhà sách VIETJACK:

Giá trị cực tiểu của hàm số y=x2lnx là

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình log32x−3log3x+2m−7=0có hai nghiệm thực x1,x2 thỏa mãn x1+3x2+3=72.

Cho hàm số y=x+1x−1 có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Cho đồ thị C:y=x3−3x2. Có bao nhiêu số nguyên b∈−10;10 để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B0;b?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ a→=2;3;1,b→=5;7;0,c→=3;−2;4và d→=4;12;−3. Mệnh đề nào sau đây sai?

Khi đặt t=log5x thì bất phương trình log525x−3log5x−5≤0 trở thành bất phương trình nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ:x=2ty=−1+tz=1 là:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 4],$ đồng biến trên đoạn $[1; 4]$ và thỏa mãn đẳng thức $x + 2 x . f (x) = {[f' (x)]}^{2}, \forall x \in [1; 4] .$ Biết rằng $f (1) = \frac{3}{2},$ tính $I = \int_{1}^{4} f (x) d x ?$

Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^{2} \ln x$ là

Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình $\log_{3}^{2} x - 3 \log_{3} x + 2 m - 7 = 0$ có hai nghiệm thực $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $(x_{1} + 3) (x_{2} + 3) = 72.$

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Giả sử A, B là hai điểm thuộc (C) và đối xứng với nhau qua giao điểm của hai đường tiệm cận. Dựng hình vuông AEBF. Tìm diện tích nhỏ nhất của hình vuông AEBF.

Cho đồ thị $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} .$ Có bao nhiêu số nguyên $b \in (- 10; 10)$ để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua điểm $B (0; b) ?$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn véctơ $\vec{a} = (2; 3; 1), \vec{b} = (5; 7; 0), \vec{c} = (3; - 2; 4)$ và $\vec{d} = (4; 12; - 3) .$ Mệnh đề nào sau đây sai?

Khi đặt $t = \log_{5} x$ thì bất phương trình $\log_{5}^{2} (5 x) - 3 \log_{\sqrt{5}} x - 5 \leq 0$ trở thành bất phương trình nào dưới đây?

Trong không gian Oxyz, một vecto chỉ phương của đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 1 + t \\ z = 1 \end{cases}$ là: