Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=3$. Một mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt $T=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ tương ứng tại A, B, C. Tính giá trị của biểu thức 

Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài là 12cm và chiều rộng là 6cm. Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại (như hình vẽ). Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết điểm M’(-3;0) là ảnh của điểm M(1;-2) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ và M”(2;3) là ảnh của điểm M’ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm thay đổi trên cạnh AB và CD sao cho $\frac{AM}{MB}=\frac{CN}{ND}$. Gọi P là một điểm trên cạnh AC và S là diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) và hình chóp. Tính tỉ số k của diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện S

Cho hình chóp S.ABC có SA=a, SB=b, SC=c. Một mặt phẳng (α) đi qua trọng tâm của tam giác ABC, cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{S{A^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{B^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{S{C^{\text{'}}}^2}$

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$ và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f(x) trên $\left[-1;\frac{5}{2}\right]$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+2}$ và góc $\alpha$ tùy ý. Khi đó giá trị của biểu thức $P=f\left({\sin }^2\alpha \right)+f\left({\cos }^2\alpha \right)$ bằng

Tìm tập nghiệm T của bất phương trình ${\log }_{\frac{\pi }{4}}\left[{\log }_2\left(x+\sqrt{2x^2-x}\right)\right]<0$