Cho phương trình $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$. Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường trọn lương giác biểu diễn các họ nghiệm của phương trình gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_1{B}_1{C}_1$ có cách đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_2{B}_2{C}_2$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_1{B}_1{C}_1$, …, tam giác $A_{n+1}{B}_{n+1}{C}_{n+1}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_n{B}_n{C}_n$, …. Gọi $S_1,S_2,\mathrm{...},S_n,\mathrm{...}$theo thứ tự là diện tích các tam giác$A_1{B}_1{C}_1$, $A_2{B}_2{C}_2$, …,$A_n{B}_n{C}_n$, … . Tìm tổng $S=S_1+S_2+\mathrm{...}+S_n+\mathrm{...}$

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+2}$ có bao nhiêu cặp tiếp tuyến vuông góc với nhau?

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện $\left|z\overline{z}+z\right|=2$ và $\left|z\right|=2$?

Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với mặt đáy một góc $60°$ , chân đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC) nằm trong tam giác ABC, AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC

Cho hàm số $f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\left(\log 4\left({\log }_{\frac{1}{4}}\left({\log }_{16}\left({\log }_{\frac{1}{16}}x\right)\right)\right)\right)$. Tập xác định của f(x) là D=(a;b) trong đó a và b là các số thực, $b-a=\frac{m}{n}$, m và n là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tìm tổng m + n.

Biết b = a+3, tính ${\int }_a^b{x}^{2}dx$. 

Cho mặt cầu (S) có bán kính R cố định. Gọi (H) là hình chóp tứ giác đều có thể tích lớn nhất nội tiếp trong (S). Tìm theo R độ dài cạnh đáy (H).