Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn [0; 2017] để phương trình $\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|-m=0$ có hai nghiệm phân biệt?

PT: $\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|-m=0\iff \left|x^2-4\left|x\right|-5\right|=m\left(1\right)$

Số nghiệm phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 

$y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|\left(P\right)$ và đường thẳng $y=m$ (cùng phương Ox)

Xét hàm số $y=x^2-4x-5\left(P_1\right)$ có đồ thị như hình 1.

Xét hàm số $y=x^2-4\left|x\right|-5\left(P_2\right)$ là hàm số chẵn nên có đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.

Mà $y=x^2-4\left|x\right|-5=x^2-4x-5$ nếu $x\ge 0$

Suy ra đồ thị hàm số $\left(P_2\right)$ gồm hai phần:

Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số $\left(P_1\right)$ phần bên phải Oy.

Phần 2: Lấy đối xứng phần 1 qua trục Oy.

Ta được đồ thị $\left(P_2\right)$ như hình 2.

Xét hàm số $y=\left|x^2-4\left|x\right|-5\right|\left(P\right)$, ta có: $\left\{\begin{array}{c}{x}^2-4\left|x\right|-5(y\ge 0)\\ -\left(x^2-4\left|x\right|-5\right)(y<0)\end{array}\right.$

Suy ra đồ thị hàm số (P) gồm hai phần:

Phần 1: Giữ nguyên đồ thị hàm số $\left(P_2\right)$ phần trên Ox.

Phần 2: Lấy đối xứng đồ thị hàm số $\left(P_2\right)$ phần dưới Ox qua trục Ox.

Ta được đồ thị (P) như hình 3.

Quan sát đồ thị hàm số (P) ta có:

Phương trình |x² – 4 |x| − 5| − m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff \left\{\begin{array}{c}m>9\\ m=0\end{array}\right.$

Mà $\left\{\begin{array}{c}m\in Z\\ m\in \left[0;2017\right]\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{0;10;11;12;...;2017\right\}$

Vậy có 2009 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C