Tìm các chữ số a,b,c biết: $\frac{\overline{ab}.\overline{bc}. \overline{ca}}{\overline{ab}+\overline{bc}+ \overline{ca}}=\frac{3321}{11}$

Cách 1:  P= ab.bc.$\frac{ca}{11}$.(a+b+c) --> ab.bc.ca = 3^4 .41.(a+b+c) 

ab+bc+ca=10a+b+10b+c+10c+a=11(a+b+c) .

Nếu vế trái là P thì ta có:

 P=ab.bc.$\frac{ca}{11}$.(a+b+c) =$\frac{3321}{11}$ .

Đơn giản hóa và nhân chéo ta được ab.bc.ca=3321. (a+b+c) . 3321= 41 .3^4. 41

Một là số nguyên tố nên các số bên trái phải có số chia hết cho 41.

nhưng các số này là các số có 2 chữ số, vậy số chia hết cho 41 chỉ có thế là 41 và 82.

Gọi cho ab là số chia hết cho 41. Khi đó có hai trường hợp: ab=41 do đó a=4; b=1 và trường hợp 2: ab=82 do đó a=8; b=2.

Trường hợp a=4; b=1 thì khi đó

41× bc×ca=41.3^4.(a+b+c)

--> (10+c)(10c+4)=3^4(4+1+c)=3^4(5+c).

Vì bên trái chẵn nên c phải lẻ.

C=5

Trường hợp 2, cũng làm tương tự a=8; b=2 không có nghiệm.

Đáp số a=4; b=1; c=5.

Cách 2:

Nhân cả hai vế với (ab+bc+ca)x11 ta được:

abxbcxcax11=(ab+bc+ca) x3321.

phân tích:

ab+bc+ca= a x 11 + b x11 + c x11

= (a + b +c)x 11.

Vậy abxbcxcax11 = (a + b + c)x11X3321.

Chia cả hai vế cho 11 ta được

ab x bc xca= ( a + b+c)x 3321.

Ta thấy 3321 :3:3:3:3=41 (hay 3321:81=41)

Vậy abxbcxca= (a+b+c) x81x41.

Vì 41 không chia được cho số nào khác 1, còn 81 chia hết được cho 3, 8, 27 nên ab, bc, ca bắt buộc một trong ba số phải có 1 số là 41 hoặc 41x2=82 (41x3 trở đi không được vì thành số có 3 chữ số)

Xét: nếu 1 trong ba số là 41, thì hai số còn lại, 1 số có hàng đơn vị là 4, 1 số có hàng chục là 1. mặt khác ta phân tích 81 thành 9x9 hoặc 27x3

Ta có 9x2=18, 9x9= 81, vậy 3 số là 18, 81, 41 (loại, vì không thành dạng ab, bc, ca)

Ta có: 27x 2= 54; 3x4=12, 3x5=15, 3x6= 18, xét 3 cặp số 54, 41, 12 và 54, 41, 15 và 54, 41, 18 thì chỉ cặp 3 số 54, 41, 15 thỏa mãn dạng ab, bc,ca. Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Nếu 1 trong 3 số là 82 thì hai số còn lại 1 số có hàng đơn vị là 2, một số có hàng chục là 8. ta thấy 9x9=81, số còn lại là 88, mà 88 không chia hết cho 9. nếu 27 x3=81; thì 3x4, 3x5, 3x6 thì tạo ra các cặp số không thỏa mãn đề bài.

 3 chữ số cần tìm là 5,1,4