Câu hỏi:

11/07/2024 962

Chứng tỏ rằng:
a, $2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + . . . + 2^{99} + 2^{100}$ chia hết cho 31
b, $5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + 5^{5} + 5^{6} + . . . + 5^{149} + 5^{150}$ vừa chia hết cho 6, vừa chia hết cho 126

Câu hỏi trong đề: Tính chất chia hết của một tổng !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn lý Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a, Ta có:

$2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + . . . + 2^{99} + 2^{100}$

= $(2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5})$ +...+ $(2^{96} + 2^{97} + 2^{98} + 2^{99} + 2^{100})$

= 2. $(1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4})$ +...+ $2^{96} (1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4})$

= $2.31 + 2^{6} . 31 + . . . + 2^{96} . 31$

= $(2 + 2^{6} + . . . + 2^{96}) . 31$ chia hết cho 31

b, Ta có:

$5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + 5^{5} + 5^{6} + . . . + 5^{149} + 5^{150}$

= $(5 + 5^{2}) + (5^{3} + 5^{4}) + (5^{5} + 5^{6}) + . . . + (5^{149} + 5^{150})$

= $5 (1 + 5) + 5^{3} (1 + 5) + 5^{5} (1 + 5) + . . . + 5^{149} (1 + 5)$

= $5.6 + 5^{3} . 6 + 5^{5} . 6 + . . . + 5^{149} . 6$

= $(5 + 5^{3} + 5^{5} + . . . + 5^{149}) . 6$ chia hết cho 6

Ta lại có:

$5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + 5^{5} + 5^{6} + . . . + 5^{149} + 5^{150}$

= $(5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + 5^{5} + 5^{6})$ +...+ $(5^{145} + 5^{146} + 5^{147} + 5^{148} + 5^{149} + 5^{150})$ (có đúng 25 nhóm)

= $[(5 + 5^{4}) + (5^{2} + 5^{5}) + (5^{3} + 5^{6})]$ + ... + $[(5^{145} + 5^{148}) + (5^{146} + 5^{149}) + (5^{147} + 5^{150})]$

= $[5 (1 + 5^{3}) + 5^{2} (1 + 5^{3}) + 5^{3} (1 + 5^{3})]$ + ... + $[5^{145} (1 + 5^{3}) + 5^{146} (1 + 5^{3}) + 5^{147} (1 + 5^{3})]$

= $(5.126 + 5^{2} . 126 + 5^{3} . 126)$ + ... + $(5^{145} . 126 + 5^{146} . 126 + 5^{147} . 126)$

= $(5 + 5^{2} + 5^{3}) . 126$ + $(5^{7} + 5^{8} + 5^{9}) . 126$ + ... + $(5^{145} + 5^{146} + 5^{147}) . 126$

= 126.[ $(5 + 5^{2} + 5^{3})$ + $(5^{7} + 5^{8} + 5^{9})$ + ... + $(5^{145} + 5^{146} + 5^{147})$ ] chia hết cho 126.

Vậy $5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + 5^{5} + 5^{6} + . . . + 5^{149} + 5^{150}$ vừa chia hết cho 6, vừa chia hết cho 126

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chứng tỏ rằng:
a, $16^{5} + 2^{15}$ chia hết cho 33
b, $8^{8} + 4^{10}$ chia hết cho 17

Xem đáp án » 11/07/2024 937

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Đăng ký gói thi VIP

vip1 + 1 tháng ( 99,000 VNĐ )

VIP 1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip2 + 3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP 2 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip3 + 6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP 3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

vip4 + 12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP 4 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.