Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Biết p+2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p+1 chia hết cho 6

a) Nếu n = 3k+1 thì $n^2$ = (3k+1)(3k+1) hay $n^2$ = 3k(3k+1)+3k+1

Rõ ràng $n^2$ chia cho 3 dư 1

Nếu n = 3k+2 thì $n^2$ = (3k+2)(3k+2)  hay $n^2$ = 3k(3k+2)+2(3k+2) = 3k(3k+2)+6k+3+1 nên $n^2$ chia cho 3 dư 1.

b) p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên không chia hết cho 3. Vậy $p^2$ chia cho 3 dư 1 tức là  $p^2=3k+1$ do đó $p^2+2003=3k+1+2003$ = 3k+2004$⋮$3

Vậy $p^2+2003$ là hợp số

Ta đã biết ba số tự nhiên lẻ liên tiếp là: 3,5,7. Ta chứng minh bộ ba này là duy nhất.

Thật vậy, giả sử có ba số nguyên tố lẻ liên tiếp nhau là: a;a+2;a+4.

Vì a là số nguyên tố lớn hơn 3 nên a không chia hết cho 3. Vậy a có dạng: a = 3k+1; 3k+2 (k$\in$N)

+ Nếu a = 3k+1 thì a+2 = 3k+3 > 3 và chia hết cho 3 => Hợp số.

+ Nếu a = 3k+2 thì a + 4 = 3k+6 > 3 và chia hết cho 3 => Hợp số.

=>Điều giả sử sai. Vậy có duy nhất bộ ba số tự  nhiên lẻ liên tiếp là số nguyên tố