Cho phương trình $x^2+2\left(m-1\right)x+1-2m=0$ (với m là tham số).

a) Giải phương trình với m= 2.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm $\forall m$.

c) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn ${x_1}^2.x_2+x_1.{x_2}^2=2\left(x_1.x_2+3\right)$.

a) Với m= 2, ta có phương trình: $x^2+2x-3=0$

Ta có: $a+b+c=1+2-3=0$                                                            

Theo định lý Viet, phương trình có 2 nghiệm: 

$x_1=1;x_2=-3\Rightarrow S=\left\{1;-3\right\}$.                                                                             

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm $\forall m$.

Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}={\left(m-1\right)}^2-1+2m=m^2\ge 0;\forall m$                                          

Vậy phương trình luôn có nghiệm $\forall m$.                                              

c) Theo định lý Viet, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2m+2\\ x_1.x_2=1-2m\end{array}\right.$                                                            

Ta có:

$$\begin{gathered} {x_1}^2.x_2+x_1.{x_2}^2=2\left(x_1.x_2+3\right) \\ \iff x_1.x_2\left(x_1+x_2-2\right)=6\Rightarrow \left(1-2m\right)\left(-2m+2-2\right)=6\iff 2m^2-m-3=0 \end{gathered}$$                 

Ta có: $a-b+c=2+1-3=0\Rightarrow m_1=-1;m_2=\frac{3}{2}$                                                 

Vậy m= -1 hoặc m= 3/2