Cho phương trình: $x^2-2(m+1)x+m^2+m-1=0$ (m là tham số).

a) Giải phương trình với m= 0.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4$.

a) Tứ giác AHIK có:

$\begin{array}{l}\widehat{AHI}={90}^0(IH\perp AB)\\ \widehat{AKI}={90}^0(IK\perp AD)\\ \Rightarrow \widehat{AHI}+\widehat{AKI}={180}^0\end{array}$

=> Tứ giác AHIK nội tiếp.

b) $∆$IAD và $∆$IBC có:

${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

$\widehat{AID}=\widehat{BIC}$ (2 góc đối đỉnh)

=> $∆$IAD $~$ $∆$IBC (g.g)

$\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{ID}{IC}\Rightarrow IA.IC=IB.ID$

c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có${\widehat{K}}_1={\widehat{D}}_1$

${\widehat{A}}_1={\widehat{H}}_1$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

mà ${\widehat{A}}_1={\widehat{B}}_1\Rightarrow {\widehat{H}}_1={\widehat{B}}_1$

Chứng minh tương tự, ta được ${\widehat{K}}_1={\widehat{D}}_1$

$∆$HIK và $∆$BCD có: ${\widehat{H}}_1={\widehat{B}}_1\text{ ; }{\widehat{K}}_1={\widehat{D}}_1$

=>  $∆$HIK $~$ $∆$BCD (g.g)

d) Gọi S₁ là diện tích của $∆$BCD.

Vì $∆$HIK $~$ $∆$BCD nên:

$\frac{S\text{'}}{S_1}=\frac{H{K}^2}{B{D}^2}=\frac{H{K}^2}{{(IB+ID)}^2}\le \frac{H{K}^2}{4IB.ID}=\frac{H{K}^2}{4IA.IC}$                                (1)

Vẽ $AE\perp BD\text{ , }CF\perp BD\Rightarrow AE//CF\Rightarrow \frac{CF}{AE}=\frac{IC}{IA}$ 

$∆$ABD và $∆$BCD có chung cạnh đáy BD nên:

$\frac{S_1}{S}=\frac{CF}{AE}\Rightarrow \frac{S_1}{S}=\frac{IC}{IA}$                                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$\frac{S\text{'}}{S_1}\cdot \frac{S_1}{S}\le \frac{H{K}^2}{4IA.IC}\cdot \frac{IC}{IA}\iff \frac{S\text{'}}{S}\le \frac{H{K}^2}{4I{A}^2}$ (đpcm)

a) Vì A, B thuộc (P) nên:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l}{x}_A=-1\Rightarrow y_A=\frac{1}{2}\cdot {\left(-1\right)}^2=\frac{1}{2}\\ x_B=2\Rightarrow y_B=\frac{1}{2}\cdot 2^2=2\end{array} \\ \Rightarrow A\left(-1;\frac{1}{2}\right)\text{ , }B(2;2) \end{gathered}$$

b) Gọi phương trình đường thẳng (d) là y = ax + b.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}-a+b=\frac{1}{2}\\ 2a+b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3a=\frac{3}{2}\\ 2a+b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=1\end{array}\right.$

Vậy (d): $y=\frac{1}{2}x+1$.

c) (d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(– 2; 0)

=>  OC = 1 và OD = 2

Gọi h là khoảng cách từ O tới (d).

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào $∆$ vuông OCD, ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{O{C}^2}+\frac{1}{O{D}^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}=\frac{5}{4}\Rightarrow h=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Vậy khoảng cách từ gốc O tới (d) là $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.