Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD (H∈AB;K∈AD).a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng IA....

a) Tứ giác AHIK có:AHI^=900 (IH⊥AB)AKI^=900 (IK⊥AD)⇒AHI^+AKI^=1800=> Tứ giác AHIK nội tiếp.b) ∆IAD và ∆IBC có: A^1=B^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))AID^=BIC^ (2 góc đối đỉnh)=> ∆IAD ~ ∆IBC (g.g)⇒IAIB=IDIC⇒IA.IC=IB.IDc, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK cóK^1=D^1 A^1=H^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)mà A^1=B^1⇒H^1=B^1Chứng minh tương tự, ta được K^1=D^1∆HIK và ∆BCD có: H^1=B^1 ; K^1=D^1=> ∆HIK ~ ∆BCD (g.g)d) Gọi S1 là diện tích của ∆BCD.Vì ∆HIK ~ ∆BCD nên: S'S1=HK2BD2=HK2(IB+ID)2≤HK24IB.ID=HK24IA.IC (1)Vẽ AE⊥BD , CF⊥BD⇒AE//CF⇒CFAE=ICIA ∆ABD và ∆BCD có chung cạnh đáy BD nên:S1S=CFAE⇒S1S=ICIA (2)Từ (1) và (2) suy raS'S1⋅S1S≤HK24IA.IC⋅ICIA⇔S'S≤HK24IA2 (đpcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 9,036

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD ( $H \in A B; K \in A D$ ).
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.
d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S^’là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: $\frac{S'}{S} \leq \frac{H K^{2}}{4. A I^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Tứ giác AHIK có:

$\begin{array}{l} \hat{A H I} = 90^{0} (I H ⊥ A B) \\ \hat{A K I} = 90^{0} (I K ⊥ A D) \\ \Rightarrow \hat{A H I} + \hat{A K I} = 180^{0} \end{array}$

=> Tứ giác AHIK nội tiếp.

b) $∆$ IAD và $∆$ IBC có:

${\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

$\hat{A I D} = \hat{B I C}$ (2 góc đối đỉnh)

=> $∆$ IAD $~$ $∆$ IBC (g.g)

$\Rightarrow \frac{I A}{I B} = \frac{I D}{I C} \Rightarrow I A . I C = I B . I D$

c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có ${\hat{K}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$

${\hat{A}}_{1} = {\hat{H}}_{1}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

mà ${\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1} \Rightarrow {\hat{H}}_{1} = {\hat{B}}_{1}$

Chứng minh tương tự, ta được ${\hat{K}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$

$∆$ HIK và $∆$ BCD có: ${\hat{H}}_{1} = {\hat{B}}_{1}; {\hat{K}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$

=> $∆$ HIK $~$ $∆$ BCD (g.g)

d) Gọi S₁ là diện tích của $∆$ BCD.

Vì $∆$ HIK $~$ $∆$ BCD nên:

$\frac{S'}{S_{1}} = \frac{H K^{2}}{B D^{2}} = \frac{H K^{2}}{{(I B + I D)}^{2}} \leq \frac{H K^{2}}{4 I B . I D} = \frac{H K^{2}}{4 I A . I C}$ (1)

Vẽ $A E ⊥ B D, C F ⊥ B D \Rightarrow A E / / C F \Rightarrow \frac{C F}{A E} = \frac{I C}{I A}$

$∆$ ABD và $∆$ BCD có chung cạnh đáy BD nên:

$\frac{S_{1}}{S} = \frac{C F}{A E} \Rightarrow \frac{S_{1}}{S} = \frac{I C}{I A}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$\frac{S'}{S_{1}} \cdot \frac{S_{1}}{S} \leq \frac{H K^{2}}{4 I A . I C} \cdot \frac{I C}{I A} \Leftrightarrow \frac{S'}{S} \leq \frac{H K^{2}}{4 I A^{2}}$ (đpcm)