Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD (H∈AB;K∈AD).a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng IA....

a) Tứ giác AHIK có:AHI^=900 (IH⊥AB)AKI^=900 (IK⊥AD)⇒AHI^+AKI^=1800=> Tứ giác AHIK nội tiếp.b) ∆IAD và ∆IBC có: A^1=B^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))AID^=BIC^ (2 góc đối đỉnh)=> ∆IAD ~ ∆IBC (g.g)⇒IAIB=IDIC⇒IA.IC=IB.IDc, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK cóK^1=D^1 A^1=H^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)mà A^1=B^1⇒H^1=B^1Chứng minh tương tự, ta được K^1=D^1∆HIK và ∆BCD có: H^1=B^1 ; K^1=D^1=> ∆HIK ~ ∆BCD (g.g)d) Gọi S1 là diện tích của ∆BCD.Vì ∆HIK ~ ∆BCD nên: S'S1=HK2BD2=HK2(IB+ID)2≤HK24IB.ID=HK24IA.IC (1)Vẽ AE⊥BD , CF⊥BD⇒AE//CF⇒CFAE=ICIA ∆ABD và ∆BCD có chung cạnh đáy BD nên:S1S=CFAE⇒S1S=ICIA (2)Từ (1) và (2) suy raS'S1⋅S1S≤HK24IA.IC⋅ICIA⇔S'S≤HK24IA2 (đpcm)

Câu hỏi:

12/07/2024 7,932

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD ( $H \in A B; K \in A D$ ).
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.
d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S^’là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: $\frac{S'}{S} \leq \frac{H K^{2}}{4. A I^{2}}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k).

Tải ngay

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Tứ giác AHIK có:

$\begin{array}{l} \hat{A H I} = 90^{0} (I H ⊥ A B) \\ \hat{A K I} = 90^{0} (I K ⊥ A D) \\ \Rightarrow \hat{A H I} + \hat{A K I} = 180^{0} \end{array}$

=> Tứ giác AHIK nội tiếp.

b) $∆$ IAD và $∆$ IBC có:

${\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))

$\hat{A I D} = \hat{B I C}$ (2 góc đối đỉnh)

=> $∆$ IAD $~$ $∆$ IBC (g.g)

$\Rightarrow \frac{I A}{I B} = \frac{I D}{I C} \Rightarrow I A . I C = I B . I D$

c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK có ${\hat{K}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$

${\hat{A}}_{1} = {\hat{H}}_{1}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)

mà ${\hat{A}}_{1} = {\hat{B}}_{1} \Rightarrow {\hat{H}}_{1} = {\hat{B}}_{1}$

Chứng minh tương tự, ta được ${\hat{K}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$

$∆$ HIK và $∆$ BCD có: ${\hat{H}}_{1} = {\hat{B}}_{1}; {\hat{K}}_{1} = {\hat{D}}_{1}$

=> $∆$ HIK $~$ $∆$ BCD (g.g)

d) Gọi S₁ là diện tích của $∆$ BCD.

Vì $∆$ HIK $~$ $∆$ BCD nên:

$\frac{S'}{S_{1}} = \frac{H K^{2}}{B D^{2}} = \frac{H K^{2}}{{(I B + I D)}^{2}} \leq \frac{H K^{2}}{4 I B . I D} = \frac{H K^{2}}{4 I A . I C}$ (1)

Vẽ $A E ⊥ B D, C F ⊥ B D \Rightarrow A E / / C F \Rightarrow \frac{C F}{A E} = \frac{I C}{I A}$

$∆$ ABD và $∆$ BCD có chung cạnh đáy BD nên:

$\frac{S_{1}}{S} = \frac{C F}{A E} \Rightarrow \frac{S_{1}}{S} = \frac{I C}{I A}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

$\frac{S'}{S_{1}} \cdot \frac{S_{1}}{S} \leq \frac{H K^{2}}{4 I A . I C} \cdot \frac{I C}{I A} \Leftrightarrow \frac{S'}{S} \leq \frac{H K^{2}}{4 I A^{2}}$ (đpcm)

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán VietJack

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn VietJack

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh VietJack

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Sách Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh VietJack

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$ (m là tham số).
a) Giải phương trình với m= 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện:
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 10,222

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình $y = \frac{1}{2} x^{2}$ và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là $x_{A} = - 1; x_{B} = 2$ .
a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.
c) Tính khoảng cách từ O (gốc tọa độ) đến đường thẳng (d).

Xem đáp án » 12/07/2024 2,613

Câu 3:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x^{2} + y = 5 \end{cases}$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,943

Câu 4:

Giải phương trình: $\frac{x + 1}{2} - 1 = 0$

Xem đáp án » 12/07/2024 1,180

Câu 5:

Giải phương trình : ${(x^{3} - 4)}^{3} = {(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 4)}^{2}$ .

Xem đáp án » 12/07/2024 551

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho phương trình: x2−2(m+1)x+m2+m−1=0 (m là tham số).a) Giải phương trình với m= 0.b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện:1x1+1x2=4.

Giải hệ phương trình: 2x−y=3x2+y=5

Giải phương trình: x+12−1=0

Giải phương trình : x3−43=(x2+4)23+42.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho phương trình: $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + m - 1 = 0$ (m là tham số).
a) Giải phương trình với m= 0.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn điều kiện:
$\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 4$ .

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x - y = 3 \\ x^{2} + y = 5 \end{cases}$

Giải phương trình: $\frac{x + 1}{2} - 1 = 0$

Giải phương trình : ${(x^{3} - 4)}^{3} = {(\sqrt[3]{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 4)}^{2}$ .