Cho tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Trên tia AM lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh:

a) AB = CD.

b) tam giác ACD cân tại C.

c) Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B} = 60°$. Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HB = AB. Đường thẳng vuông góc với BC tại H cắt AC tại D. Chứng minh: 

a) BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$;

b) tam giác BDC cân.

Cho $\widehat{xOy}$. Lấy các điểm A,B thuộc tia Ox sao cho OA > OB. Lấy các điểm C, D thuộc Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh:

a) AD = BC ;

b) $∆ABE = ∆CDE;$

c) OE là tia phân giác của góc xOy.

Cho $\widehat{xOy}$ có tia phân giác Ot. Trên tia Ot lấy điểm C bất kì. Lấy A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho OA = OB. Gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh:

a) CA = CB và CO là phân giác của $\widehat{ACB}$;

b) OC vuông góc với AB tại trung điểm của AB;

c) Biết AB = 6 cm, OA = 5 cm. Tính OH.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia $Mx \perp BC$. Trên tia Mx lấy E sao cho ME = MB.

a) Tam giác BEC là tam giác gì?

b) Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng AB, AC. Chứng minh $\widehat{BEH}=\widehat{CEK}$.

c) Chứng minh rằng AE là tia phân giác của góc A.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3cm, AC = 6cm. Gọi E là trung điểm AC, tia phân giác của $\hat{A}$ cắt BC tại D.

a) Tính BC.

b) Chứng minh: $∆BAD =∆EAD.$

c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh điểm D cách đều AB và AC.

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 120°$. Tia phân giác của A cắt BC tại D. Tia phân giác của $\widehat{ADC}$ cắt AC tại I. Gọi H, K, E lần lượt là hình chiếu của I trên đương thẳng AB, BC, AD. Chứng minh:

a) AC là tia phân giác của $\widehat{DAH}$.

b) IH = IK

Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ một điểm K bất kì trên cạnh BC, vẽ $KH \perp AC \left(HAC\right).$ Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK. Chứng minh:

a) Chứng minh AB //HK

b) Chứng minh $\widehat{KAH}=\widehat{IAH}$

c) Chứng minh tam giác AKI cân