Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh:

a) A là trọng tâm của tam giác CDE;

b) Đường thẳng CA đi qua trung điểm của DE.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF = QG. Chứng minh:

a) GB = GE, GC = GF;

b) EF = BC và EF//BC.

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh:

a) M là trọng tâm tam giác ABD; Ba điểm A, M, N thẳng hàng;

b) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.

Cho tam giác ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho $KM =\frac{1}{2}KB$. Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và $IC = \frac{1}{3}CA$. Đường thẳng KI cắt HC ở E.

a) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác HKC và  E là trung điểm của HC 

b) Tính các tỉ số $\frac{IE}{IK},\frac{IC}{MC}$. Chứng minh ba điểm H, I,  F thẳng hàng ( F là trung điểm KC)

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 6cm, AC = 8cm.

a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh $∆AMB = ∆DMC.$

b) Chứng minh $∆BAC =∆DCA.$

c) Tính AM.

d) Chứng minh $AM<\frac{AB+AC}{2}$.

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $AG =\frac{1}{3}AC$. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.

Chứng minh:

a) G là trọng tâm tam giác BCD;

b) $∆BED = ∆FDE$, từ đó suy ra EC = DF;

c) $∆DMF = ∆CME;$

d) B, G, M thẳng hàng.

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Tính $\widehat{ABD}$

b) Chứng minh $∆ABD = ∆BAC.$

c) Chứng minh $AM = \frac{1}{2}BC$

Cho tam giác ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho $BG =\frac{2}{3} BM$ và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I Chứng minh:

a)  I là trọng tâm của tam giác KGC;

b) $CI =\frac{1}{3}AC.$