Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Trên tia AD lấy điểm E sao cho AD = DE, trên tia BC lấy điểm M sao cho BC = CM. Chứng minh C là trọng tâm của tam giác AEM.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD, CE. Chứng minh $BD + CE >\frac{3}{2}BC$

Cho tam giác ABC có BC = 8 cm, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Chứng minh BD + CE > 12 cm.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF = QG. Chứng minh:

a) GB = GE, GC = GF;

b) EF = BC và EF//BC.

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $AG =\frac{1}{3}AC$. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.

Chứng minh:

a) G là trọng tâm tam giác BCD;

b) $∆BED = ∆FDE$, từ đó suy ra EC = DF;

c) $∆DMF = ∆CME;$

d) B, G, M thẳng hàng.

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh:

a) M là trọng tâm tam giác ABD; Ba điểm A, M, N thẳng hàng;

b) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.

Cho tam giác ABC. Trên đường trung tuyến AM của tam giác đó, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EM. Chứng minh E là trọng tâm của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC. Vẽ trung tuyến BM. Trên tia BM lấy hai điểm G, K sao cho $BG =\frac{2}{3} BM$ và G là trung điểm của BK. Gọi E là trung điểm CK; GE cắt AC tại I Chứng minh:

a)  I là trọng tâm của tam giác KGC;

b) $CI =\frac{1}{3}AC.$

Cho tam giác ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho $KM =\frac{1}{2}KB$. Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và $IC = \frac{1}{3}CA$. Đường thẳng KI cắt HC ở E.

a) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác HKC và  E là trung điểm của HC 

b) Tính các tỉ số $\frac{IE}{IK},\frac{IC}{MC}$. Chứng minh ba điểm H, I,  F thẳng hàng ( F là trung điểm KC)

Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD. Đoạn thẳng AM, AN cắt BD lần lượt tại I và K. Chứng minh:

a) I là trọng tâm của tam giác ABC và K là trọng tâm của tam giác ADC;

b) BI = IK = KD.

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD. Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = BD. Gọi P, Q lần lượt là điểm trên BE sao cho BP = PQ = QE. Chứng minh:

a) CP, CQ cắt AB, AE tại trung điểm của AB,AE.

b) CP//AQ và CQ//AP.

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA.

a) Tính $\widehat{ABD}$

b) Chứng minh $∆ABD = ∆BAC.$

c) Chứng minh $AM = \frac{1}{2}BC$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC tới các đỉnh của tam giác.

Cho tam giác ABC, trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC.$

a) Chứng minh $\widehat{BMA}=2\widehat{MAC}$ và $\widehat{CMA}=2\widehat{MAB}$.

b) Tính $\widehat{BAC}$?

Cho hình vẽ, biết tam giác ABC có hai đường trung tuyến BN,CP vuông góc với nhau tại G. Tia AG cắt BC tại I. BC = 5 cm. Tính độ dài GI,AG.

Cho tam giác ABC cân tại A có đường trung tuyến AM.

a) Chứng minh $AM \perp BC.$

b) Biết AB = 10 cm, BC = 12 cm. 

Cho tam giác ABC có AB = BC = 13 cm, AC = 10 cm, Đường trung tuyến BM, trọng tâm. G. Tính độ dài GM.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN.

a) Chứng minh nếu tam giác ABC cân tại A thì BM = CN.

b) Ngược lại nếu BM = CN, chứng minh:

i) GB = GC, GN = GM;

ii) BN = CM;

iii) tam giác ABC cân tại A.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. Chứng minh $AG\perp BC.$

Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G.

Biết AM = BN = CP. Chứng minh tam giác ABC đều.

Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G. Biết AG = BG = CG. Chứng minh tam giác ABC đều

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh:

a) A là trọng tâm của tam giác CDE;

b) Đường thẳng CA đi qua trung điểm của DE.

Cho bốn điểm A, B,C, D không thẳng hàng như hình vẽ. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trung điểm của BD và AC lần lượt là M, N. Chứng minh AC + DB > 2MN.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm.

a) Tính BC.

b) Đường thẳng đi qua trung điểm I của BC và vuông góc với BC cắt AC tại D. Chứng minh $\widehat{CBD}=\widehat{DCB}$.

c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE = DC. Chứng minh tam giác BCE vuông.

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 6cm, AC = 8cm.

a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh $∆AMB = ∆DMC.$

b) Chứng minh $∆BAC =∆DCA.$

c) Tính AM.

d) Chứng minh $AM<\frac{AB+AC}{2}$.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN vuông góc với nhau, trọng tâm G. Biết AM = 4,5 cm, BN = 6 cm. Tính độ dài cạnh AB.