Cho tam giác ABC, M là trung điểm AC. Trên đoạn BM lấy điểm K sao cho $KM =\frac{1}{2}KB$. Điểm H thuộc tia đối của tia MK sao cho BH = 2BK. Gọi I là điểm thuộc cạnh AC và $IC = \frac{1}{3}CA$. Đường thẳng KI cắt HC ở E.

a) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác HKC và  E là trung điểm của HC 

b) Tính các tỉ số $\frac{IE}{IK},\frac{IC}{MC}$. Chứng minh ba điểm H, I,  F thẳng hàng ( F là trung điểm KC)

Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Biết AB = 6cm, AC = 8cm.

a) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh $∆AMB = ∆DMC.$

b) Chứng minh $∆BAC =∆DCA.$

c) Tính AM.

d) Chứng minh $AM<\frac{AB+AC}{2}$.

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 2CM. Vẽ điểm D sao cho C là trung điểm của AD. Gọi N là trung điểm của BD, Chứng minh:

a) M là trọng tâm tam giác ABD; Ba điểm A, M, N thẳng hàng;

b) Đường thẳng DM đi qua trung điểm của AB.

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = 2AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BC. Chứng minh:

a) A là trọng tâm của tam giác CDE;

b) Đường thẳng CA đi qua trung điểm của DE.

Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Lấy G thuộc cạnh AC sao cho $AG =\frac{1}{3}AC$. Tia DG cắt BC tại E. Qua E vẽ đường thẳng song song với BD, qua D vẽ đường thẳng song song với BC, hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Gọi M là giao điểm của EF và CD.

Chứng minh:

a) G là trọng tâm tam giác BCD;

b) $∆BED = ∆FDE$, từ đó suy ra EC = DF;

c) $∆DMF = ∆CME;$

d) B, G, M thẳng hàng.

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết BM = CN. Chứng minh $AG\perp BC.$

Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BP, CQ cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia PB lấy điểm E sao cho PE = PG. Trên tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho QF = QG. Chứng minh:

a) GB = GE, GC = GF;

b) EF = BC và EF//BC.

Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G.

Biết AM = BN = CP. Chứng minh tam giác ABC đều.