Chứng tỏ hai phân thức: $\frac{\mathrm{ab}+\mathrm{cx}+\mathrm{ax}+\mathrm{bc}}{\mathrm{ay}+2\mathrm{c}\text{x}+2\mathrm{ax}+\mathrm{cy}}$ và $\frac{\mathrm{x}+\mathrm{b}}{2\mathrm{x}+\mathrm{y}}$ bằng nhau với $\text{y≠−2x}$ và $\mathrm{a}\ne -\mathrm{c}.$

Cho phân thức $\mathrm{A}=\frac{{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3+\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+1}.$

a) Thu gọn A.

b) Chứng minh A luôn không âm với mọi giá trị của x.

Rút gọn các phân thức sau:

a) $\frac{6x+12}{24x^2+48x}$ với $\mathrm{x}\ne -2$ và $\mathrm{x}\ne 0$;

b) $\frac{48{\mathrm{a}}^3-75\mathrm{a}}{3(\mathrm{a}-2)-(\mathrm{a}-2)(8-4\mathrm{a})}$ với $\mathrm{a}\ne \frac{5}{4}$ và $\mathrm{a}\ne 2.$

Rút gọn phân thức:

a) $\frac{{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}+6}{{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9}$ với $\mathrm{x}\ne -3;$ 

b) $\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{xy}-\mathrm{x}-\mathrm{y}}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{xy}-\mathrm{x}+\mathrm{y}}$ với $\mathrm{x}\ne 1$ và $\mathrm{x}\ne \mathrm{y}$.

Chứng minh đẳng thức: $\frac{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{xy}+{\mathrm{y}}^2}{2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-2{\mathrm{xy}}^2-{\mathrm{y}}^3}=\frac{1}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$ với $\mathrm{y}\ne -2\mathrm{x}$ và $\mathrm{y}\ne \pm \mathrm{x}.$

Tối giản các phân thức sau:

a) $\frac{7{\mathrm{x}}^3+7\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^4-1}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 1;$

b) $\frac{48\mathrm{y}-12{\mathrm{y}}^2+3{\mathrm{y}}^3}{{\mathrm{y}}^3+64}$ với $\mathrm{y}\ne -4.$

Đơn giản các phân thức sau đây:

a) $\frac{2{\mathrm{y}}^3-{\mathrm{y}}^2-2\mathrm{y}+1}{{\mathrm{y}}^3+3{\mathrm{y}}^2-\mathrm{y}-3}$ với $\mathrm{y}\ne -3$ và $\mathrm{y}\ne \pm 1;$

b) $\frac{{\mathrm{m}}^4-{\mathrm{n}}^4}{{\mathrm{n}}^3-{\mathrm{m}}^3}$ với $\mathrm{m}\ne \mathrm{n}.$

Cho phân thức $\mathrm{Q}=\frac{1-{\mathrm{x}}^4}{{\mathrm{x}}^{10}-{\mathrm{x}}^8+4{\mathrm{x}}^6-4{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^2-4}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 1.$

Chứng minh Q luôn nhận giá trị âm với mọi $\mathrm{x}\ne \pm 1.$