Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x3+y3−x2+y2x−1y−1 với x, y là các số thực lớn hơn 1

Ta có:T=x3+y3−x2+y2x−1y−1=x2x−1+y2y−1x−1y−1=x2y−1+y2x−1Do x>1,y>1 nên x−1>0, y−1>0Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x2y−1, y2x−1 ta có:x−1+1≥2x−1⇔x−1−12≥0⇔x−2x−1≥0⇔xx−1≥2y−1+1≥2y−1⇔y−1−12≥0⇔y−2y−1≥0⇔xy−1≥2Do đó: T=x2y−1+y2x−1≥2xyx−1.y−1≥8Dấu “=” xẩy ra khi x2y−1=y2x−1x−1=1y−1=1⇔x=2y=2 (thỏa mãn điều kiện)Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT= 8 khi x=y= 2

Câu hỏi:

13/07/2024 692

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{(x^{3} + y^{3}) - (x^{2} + y^{2})}{(x - 1) (y - 1)}$ với x, y là các số thực lớn hơn 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $T = \frac{(x^{3} + y^{3}) - (x^{2} + y^{2})}{(x - 1) (y - 1)} = \frac{x^{2} (x - 1) + y^{2} (y - 1)}{(x - 1) (y - 1)} = \frac{x^{2}}{y - 1} + \frac{y^{2}}{x - 1}$

Do $x > 1, y > 1$ nên $x - 1 > 0, y - 1 > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương $\frac{x^{2}}{y - 1}, \frac{y^{2}}{x - 1}$ ta có:

$(x - 1) + 1 \geq 2 \sqrt{x - 1} \Leftrightarrow {(\sqrt{x - 1} - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x - 2 \sqrt{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x - 1}} \geq 2 (y - 1) + 1 \geq 2 \sqrt{y - 1} \Leftrightarrow {(\sqrt{y - 1} - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow y - 2 \sqrt{y - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{y - 1}} \geq 2$

Do đó: $T = \frac{x^{2}}{y - 1} + \frac{y^{2}}{x - 1} \geq \frac{2 x y}{\sqrt{x - 1} . \sqrt{y - 1}} \geq 8$

Dấu “=” xẩy ra khi $\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{y - 1} = \frac{y^{2}}{x - 1} \\ x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT= 8 khi x=y= 2

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh biểu thức $S = n^{3} {(n + 2)}^{2} + (n + 1) (n^{3} - 5 n + 1) - 2 n - 1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$S = n (n^{4} + 5 n^{3} + 5 n^{2} - 5 n - 6) = n [(n^{2} - 1) (n^{2} + 6) + 5 n (n^{2} - 1)] = n (n^{2} - 1) (n^{2} + 5 n + 6) = n (n - 1) (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$

Ta có S là tích của 5 số nguyên tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5! nên chia hết cho 120.

Câu 2

Giải phương trình $x + 2 \sqrt{7 - x} = 2 \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x^{2} + 8 x - 7} + 1.$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện $1 \leq x \leq 7$

Ta có: $x + 2 \sqrt{7 - x} = 2 \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x^{2} + 8 x - 7} + 1$

$\Leftrightarrow 2 (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) + (x - 1) - \sqrt{(x - 1) (7 - x)} = 0 \Leftrightarrow 2 (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) + \sqrt{x - 1} (\sqrt{x - 1} - \sqrt{7 - x}) = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) (2 - \sqrt{x - 1}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x - 1} = 2 \\ \sqrt{x - 1} = \sqrt{7 - x} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = 4 \end{array} (t / m)$

Vậy phương trình có hai nghiệm x= 4 và x= 5

Câu 3