Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=x3+y3−x2+y2x−1y−1 với x, y là các số thực lớn hơn 1

Ta có:T=x3+y3−x2+y2x−1y−1=x2x−1+y2y−1x−1y−1=x2y−1+y2x−1Do x>1,y>1 nên x−1>0, y−1>0Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương x2y−1, y2x−1 ta có:x−1+1≥2x−1⇔x−1−12≥0⇔x−2x−1≥0⇔xx−1≥2y−1+1≥2y−1⇔y−1−12≥0⇔y−2y−1≥0⇔xy−1≥2Do đó: T=x2y−1+y2x−1≥2xyx−1.y−1≥8Dấu “=” xẩy ra khi x2y−1=y2x−1x−1=1y−1=1⇔x=2y=2 (thỏa mãn điều kiện)Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT= 8 khi x=y= 2

Câu hỏi:

13/07/2024 1,133

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{(x^{3} + y^{3}) - (x^{2} + y^{2})}{(x - 1) (y - 1)}$ với x, y là các số thực lớn hơn 1

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: $T = \frac{(x^{3} + y^{3}) - (x^{2} + y^{2})}{(x - 1) (y - 1)} = \frac{x^{2} (x - 1) + y^{2} (y - 1)}{(x - 1) (y - 1)} = \frac{x^{2}}{y - 1} + \frac{y^{2}}{x - 1}$

Do $x > 1, y > 1$ nên $x - 1 > 0, y - 1 > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương $\frac{x^{2}}{y - 1}, \frac{y^{2}}{x - 1}$ ta có:

$(x - 1) + 1 \geq 2 \sqrt{x - 1} \Leftrightarrow {(\sqrt{x - 1} - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x - 2 \sqrt{x - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x - 1}} \geq 2 (y - 1) + 1 \geq 2 \sqrt{y - 1} \Leftrightarrow {(\sqrt{y - 1} - 1)}^{2} \geq 0 \Leftrightarrow y - 2 \sqrt{y - 1} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{y - 1}} \geq 2$

Do đó: $T = \frac{x^{2}}{y - 1} + \frac{y^{2}}{x - 1} \geq \frac{2 x y}{\sqrt{x - 1} . \sqrt{y - 1}} \geq 8$

Dấu “=” xẩy ra khi $\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{y - 1} = \frac{y^{2}}{x - 1} \\ x - 1 = 1 \\ y - 1 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT= 8 khi x=y= 2

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Chứng minh biểu thức $S = n^{3} {(n + 2)}^{2} + (n + 1) (n^{3} - 5 n + 1) - 2 n - 1$ chia hết cho 120, với n là số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

$S = n (n^{4} + 5 n^{3} + 5 n^{2} - 5 n - 6) = n [(n^{2} - 1) (n^{2} + 6) + 5 n (n^{2} - 1)] = n (n^{2} - 1) (n^{2} + 5 n + 6) = n (n - 1) (n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3)$

Ta có S là tích của 5 số nguyên tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5! nên chia hết cho 120.

Câu 2

Giải phương trình $x + 2 \sqrt{7 - x} = 2 \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x^{2} + 8 x - 7} + 1.$

Xem đáp án

Lời giải

Điều kiện $1 \leq x \leq 7$

Ta có: $x + 2 \sqrt{7 - x} = 2 \sqrt{x - 1} + \sqrt{- x^{2} + 8 x - 7} + 1$

$\Leftrightarrow 2 (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) + (x - 1) - \sqrt{(x - 1) (7 - x)} = 0 \Leftrightarrow 2 (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) + \sqrt{x - 1} (\sqrt{x - 1} - \sqrt{7 - x}) = 0 \Leftrightarrow (\sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 1}) (2 - \sqrt{x - 1}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{x - 1} = 2 \\ \sqrt{x - 1} = \sqrt{7 - x} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 5 \\ x = 4 \end{array} (t / m)$

Vậy phương trình có hai nghiệm x= 4 và x= 5

Câu 3