Tìm các số nguyên k để $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Mua bộ đề Hà Nội Mua bộ đề Tp. Hồ Chí Minh Mua đề Bách Khoa

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đặt $M = k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$

Ta có $M = (k^{4} - 2 k^{2} + 1) - 8 k (k^{2} - 2 k + 1) + 9 k^{2} - 18 k + 9 = {(k^{2} - 1)}^{2} - 8 k {(k - 1)}^{2} + 9 {(k - 1)}^{2} = {(k - 1)}^{2} . [{(k - 3)}^{2} + 1]$

M là số chính phương khi và chỉ khi ${(k - 1)}^{2} = 0$ hoặc ${(k - 3)}^{2} + 1$ là số chính phương.

TH 1. ${(k - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow k = 1.$

TH 2. ${(k - 3)}^{2} + 1$ là số chính phương, đặt ${(k - 3)}^{2} + 1 = m^{2} (m \in ℤ)$

$\Leftrightarrow m^{2} - {(k - 3)}^{2} = 1 \Leftrightarrow (m - k + 3) (m + k - 3) = 1$

Vì $m, k \in ℤ \Rightarrow m - k + 3 \in ℤ, m + k - 3 \in ℤ$ nên

$\{\begin{cases} m - k + 3 = 1 \\ m + k - 3 = 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} m - k + 3 = - 1 \\ m + k - 3 = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1, k = 3 \\ m = - 1, k = 3 \end{array} \Rightarrow k = 3$

Vậy k = 1 hoặc k = 3 thì $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $x^{4} + x^{2} - y^{2} - y + 20 = 0.$ (1)

Xem đáp án » 13/07/2024 8,980

Câu 2:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Xem đáp án » 13/07/2024 6,691

Câu 3:

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,272

Câu 4:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,175

Câu 5:

Giải phương trình $2 x + 3 + \sqrt{4 x^{2} + 9 x + 2} = 2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{4 x + 1} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,095

Câu 6:

Cho $a - b = \sqrt{29 + 12 \sqrt{5}} - 2 \sqrt{5}$ . Tính giá trị của biểu thức:
$A = a^{2} (a + 1) - b^{2} (b - 1) - 11 a b + 2015$

Xem đáp án » 13/07/2024 3,134

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP