Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)3+4ab≤12. Chứng minh bất đẳng thức 11+a+11+b+2015ab≤2016.

Ta có 12≥(a+b)3+4ab≥2ab3+4ab. Đặt t=ab,t>0 thì12≥8t3+4t2⇔2t3+t2−3≤0⇔(t−1)(2t2+3t+3)≤0 Do 2t2+3t+3>0,∀t nên t−1≤0⇔t≤1. Vậy 0<ab≤1 Chứng minh được 11+a+11+b≤21+ab,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1 Thật vậy, BĐT 11+a−11+ab+11+b−11+ab≤0 ab−a(1+a)(1+ab)+ab−b(1+b)(1+ab)≤0⇔b−a1+aba1+a−b1+b⇔(b−a)2(ab−1)(1+ab)(1+a)(1+b)≤0 Do 0<ab≤1 nên BĐT này đúngTiếp theo ta sẽ CM 21+ab+2015ab≤2016,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1Đặt t=ab,0<t≤t ta được 21+t+2015t2≤2016 2015t3+2015t2−2016t−2014≤0⇔(t−1)(2015t2+4030t+2014)≤0 BĐT này đúng ∀t:0<t≤1 Vậy 11+a+11+b+2015ab≤2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1

Câu hỏi:

13/07/2024 5,809

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $12 \geq {(a + b)}^{3} + 4 a b \geq {(2 \sqrt{a b})}^{3} + 4 a b$ . Đặt $t = \sqrt{a b}, t > 0$ thì

$12 \geq 8 t^{3} + 4 t^{2} \Leftrightarrow 2 t^{3} + t^{2} - 3 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2 t^{2} + 3 t + 3) \leq 0$

Do $2 t^{2} + 3 t + 3 > 0, \forall t$ nên $t - 1 \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 1$ . Vậy $0 < a b \leq 1$

Chứng minh được $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} \leq \frac{2}{1 + \sqrt{a b}}, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Thật vậy, BĐT $\frac{1}{1 + a} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} + \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} \leq 0$

$\frac{\sqrt{a b} - a}{(1 + a) (1 + \sqrt{a b})} + \frac{\sqrt{a b} - b}{(1 + b) (1 + \sqrt{a b})} \leq 0 \Leftrightarrow (\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a b}}) (\frac{\sqrt{a}}{1 + a} - \frac{\sqrt{b}}{1 + b}) \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{b} - \sqrt{a})}^{2} (\sqrt{a b} - 1)}{(1 + \sqrt{a b}) (1 + a) (1 + b)} \leq 0$

Do $0 < a b \leq 1$ nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM $\frac{2}{1 + \sqrt{a b}} + 2015 a b \leq 2016, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Đặt $t = \sqrt{a b}, 0 < t \leq t$ ta được $\frac{2}{1 + t} + 2015 t^{2} \leq 2016$

$2015 t^{3} + 2015 t^{2} - 2016 t - 2014 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2015 t^{2} + 4030 t + 2014) \leq 0$

BĐT này đúng $\forall t : 0 < t \leq 1$

Vậy $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$ Đẳng thức xảy ra a = b = 1

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $x^{4} + x^{2} - y^{2} - y + 20 = 0.$ (1)

Xem đáp án » 13/07/2024 10,552

Câu 2:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Xem đáp án » 13/07/2024 7,386

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,790

Câu 4:

Giải phương trình $2 x + 3 + \sqrt{4 x^{2} + 9 x + 2} = 2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{4 x + 1} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,606

Câu 5:

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC
1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,980

Câu 6:

Tìm các số nguyên k để $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương.

Xem đáp án » 13/07/2024 3,958

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)3+4ab≤12. Chứng minh bất đẳng thức 11+a+11+b+2015ab≤2016.

Bình luận

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãnx4+x2−y2−y+20=0. (1)

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy+(1+x2)(1+y2)=1. Chứng minh rằng x1+y2+y1+x2=0.

Giải hệ phương trình 2x2−y2+xy−5x+y+2=y−2x+1−3−3xx2−y−1=4x+y+5−x+2y−2

Giải phương trình 2x+3+4x2+9x+2=2x+2+4x+1.

Tìm các số nguyên k để k4−8k3+23k2−26k+10 là số chính phương.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $x^{4} + x^{2} - y^{2} - y + 20 = 0.$ (1)

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$

Giải phương trình $2 x + 3 + \sqrt{4 x^{2} + 9 x + 2} = 2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{4 x + 1} .$

Tìm các số nguyên k để $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương.