Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)3+4ab≤12. Chứng minh bất đẳng thức 11+a+11+b+2015ab≤2016.

Ta có 12≥(a+b)3+4ab≥2ab3+4ab. Đặt t=ab,t>0 thì12≥8t3+4t2⇔2t3+t2−3≤0⇔(t−1)(2t2+3t+3)≤0 Do 2t2+3t+3>0,∀t nên t−1≤0⇔t≤1. Vậy 0<ab≤1 Chứng minh được 11+a+11+b≤21+ab,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1 Thật vậy, BĐT 11+a−11+ab+11+b−11+ab≤0 ab−a(1+a)(1+ab)+ab−b(1+b)(1+ab)≤0⇔b−a1+aba1+a−b1+b⇔(b−a)2(ab−1)(1+ab)(1+a)(1+b)≤0 Do 0<ab≤1 nên BĐT này đúngTiếp theo ta sẽ CM 21+ab+2015ab≤2016,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1Đặt t=ab,0<t≤t ta được 21+t+2015t2≤2016 2015t3+2015t2−2016t−2014≤0⇔(t−1)(2015t2+4030t+2014)≤0 BĐT này đúng ∀t:0<t≤1 Vậy 11+a+11+b+2015ab≤2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1

Câu hỏi:

13/07/2024 5,996

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $12 \geq {(a + b)}^{3} + 4 a b \geq {(2 \sqrt{a b})}^{3} + 4 a b$ . Đặt $t = \sqrt{a b}, t > 0$ thì

$12 \geq 8 t^{3} + 4 t^{2} \Leftrightarrow 2 t^{3} + t^{2} - 3 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2 t^{2} + 3 t + 3) \leq 0$

Do $2 t^{2} + 3 t + 3 > 0, \forall t$ nên $t - 1 \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 1$ . Vậy $0 < a b \leq 1$

Chứng minh được $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} \leq \frac{2}{1 + \sqrt{a b}}, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Thật vậy, BĐT $\frac{1}{1 + a} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} + \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} \leq 0$

$\frac{\sqrt{a b} - a}{(1 + a) (1 + \sqrt{a b})} + \frac{\sqrt{a b} - b}{(1 + b) (1 + \sqrt{a b})} \leq 0 \Leftrightarrow (\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a b}}) (\frac{\sqrt{a}}{1 + a} - \frac{\sqrt{b}}{1 + b}) \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{b} - \sqrt{a})}^{2} (\sqrt{a b} - 1)}{(1 + \sqrt{a b}) (1 + a) (1 + b)} \leq 0$

Do $0 < a b \leq 1$ nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM $\frac{2}{1 + \sqrt{a b}} + 2015 a b \leq 2016, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Đặt $t = \sqrt{a b}, 0 < t \leq t$ ta được $\frac{2}{1 + t} + 2015 t^{2} \leq 2016$

$2015 t^{3} + 2015 t^{2} - 2016 t - 2014 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2015 t^{2} + 4030 t + 2014) \leq 0$

BĐT này đúng $\forall t : 0 < t \leq 1$

Vậy $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$ Đẳng thức xảy ra a = b = 1

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Toán

Đã bán 261

₫ 195.000 ₫ 95.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Ngữ Văn

Đã bán 111

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Cấp tốc 789+ thi vào lớp 10 môn Tiếng Anh

Đã bán 1k

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Lớp 9 - Siêu trọng tâm Toán, Văn, Anh

Đã bán 411

₫ 180.000 ₫ 97.000

Hà Nội

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $x^{4} + x^{2} - y^{2} - y + 20 = 0.$ (1)

Xem đáp án » 13/07/2024 10,803

Câu 2:

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Xem đáp án » 13/07/2024 7,722

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$

Xem đáp án » 13/07/2024 6,042

Câu 4:

Giải phương trình $2 x + 3 + \sqrt{4 x^{2} + 9 x + 2} = 2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{4 x + 1} .$

Xem đáp án » 13/07/2024 5,817

Câu 5:

Tìm các số nguyên k để $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,188

Câu 6:

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC
1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN.

Xem đáp án » 13/07/2024 4,181

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)3+4ab≤12. Chứng minh bất đẳng thức 11+a+11+b+2015ab≤2016.

Bình luận

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãnx4+x2−y2−y+20=0. (1)

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn xy+(1+x2)(1+y2)=1. Chứng minh rằng x1+y2+y1+x2=0.

Giải hệ phương trình 2x2−y2+xy−5x+y+2=y−2x+1−3−3xx2−y−1=4x+y+5−x+2y−2

Giải phương trình 2x+3+4x2+9x+2=2x+2+4x+1.

Tìm các số nguyên k để k4−8k3+23k2−26k+10 là số chính phương.

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $x^{4} + x^{2} - y^{2} - y + 20 = 0.$ (1)

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$

Giải phương trình $2 x + 3 + \sqrt{4 x^{2} + 9 x + 2} = 2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{4 x + 1} .$

Tìm các số nguyên k để $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương.