Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)3+4ab≤12. Chứng minh bất đẳng thức 11+a+11+b+2015ab≤2016.

Ta có 12≥(a+b)3+4ab≥2ab3+4ab. Đặt t=ab,t>0 thì12≥8t3+4t2⇔2t3+t2−3≤0⇔(t−1)(2t2+3t+3)≤0 Do 2t2+3t+3>0,∀t nên t−1≤0⇔t≤1. Vậy 0<ab≤1 Chứng minh được 11+a+11+b≤21+ab,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1 Thật vậy, BĐT 11+a−11+ab+11+b−11+ab≤0 ab−a(1+a)(1+ab)+ab−b(1+b)(1+ab)≤0⇔b−a1+aba1+a−b1+b⇔(b−a)2(ab−1)(1+ab)(1+a)(1+b)≤0 Do 0<ab≤1 nên BĐT này đúngTiếp theo ta sẽ CM 21+ab+2015ab≤2016,∀a,b>0 thỏa mãn ab≤1Đặt t=ab,0<t≤t ta được 21+t+2015t2≤2016 2015t3+2015t2−2016t−2014≤0⇔(t−1)(2015t2+4030t+2014)≤0 BĐT này đúng ∀t:0<t≤1 Vậy 11+a+11+b+2015ab≤2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1

Câu hỏi:

13/07/2024 7,441

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 19 đề ôn thi vào 10 chuyên hay có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có $12 \geq {(a + b)}^{3} + 4 a b \geq {(2 \sqrt{a b})}^{3} + 4 a b$ . Đặt $t = \sqrt{a b}, t > 0$ thì

$12 \geq 8 t^{3} + 4 t^{2} \Leftrightarrow 2 t^{3} + t^{2} - 3 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2 t^{2} + 3 t + 3) \leq 0$

Do $2 t^{2} + 3 t + 3 > 0, \forall t$ nên $t - 1 \leq 0 \Leftrightarrow t \leq 1$ . Vậy $0 < a b \leq 1$

Chứng minh được $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} \leq \frac{2}{1 + \sqrt{a b}}, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Thật vậy, BĐT $\frac{1}{1 + a} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} + \frac{1}{1 + b} - \frac{1}{1 + \sqrt{a b}} \leq 0$

$\frac{\sqrt{a b} - a}{(1 + a) (1 + \sqrt{a b})} + \frac{\sqrt{a b} - b}{(1 + b) (1 + \sqrt{a b})} \leq 0 \Leftrightarrow (\frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{1 + \sqrt{a b}}) (\frac{\sqrt{a}}{1 + a} - \frac{\sqrt{b}}{1 + b}) \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{b} - \sqrt{a})}^{2} (\sqrt{a b} - 1)}{(1 + \sqrt{a b}) (1 + a) (1 + b)} \leq 0$

Do $0 < a b \leq 1$ nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM $\frac{2}{1 + \sqrt{a b}} + 2015 a b \leq 2016, \forall a, b > 0$ thỏa mãn $a b \leq 1$

Đặt $t = \sqrt{a b}, 0 < t \leq t$ ta được $\frac{2}{1 + t} + 2015 t^{2} \leq 2016$

$2015 t^{3} + 2015 t^{2} - 2016 t - 2014 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 1) (2015 t^{2} + 4030 t + 2014) \leq 0$

BĐT này đúng $\forall t : 0 < t \leq 1$

Vậy $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$ Đẳng thức xảy ra a = b = 1

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $x^{4} + x^{2} - y^{2} - y + 20 = 0.$ (1)

Xem đáp án

Lời giải

Ta có (1) $\Leftrightarrow x^{4} + x^{2} + 20 = y^{2} + y$

Ta thấy: $x^{4} + x^{2} < x^{4} + x^{2} + 20 \leq x^{4} + x^{2} + 20 + 8 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} (x^{2} + 1) < y (y + 1) \leq (x^{2} + 4) (x^{2} + 5)$

Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau

+ TH1. $y (y + 1) = (x^{2} + 1) (x^{2} + 2) \Leftrightarrow x^{4} + x^{2} + 20 = x^{4} + 3 x^{2} + 2 \Leftrightarrow 2 x^{2} = 18 \Leftrightarrow x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3$

Với $x^{2} = 9 \Rightarrow y^{2} + y = 9^{2} + 9 + 20 \Leftrightarrow y^{2} + y - 110 = 0 \Leftrightarrow y = 10; y = - 11 (t . m)$

+ TH2 $y (y + 1) = (x^{2} + 2) (x^{2} + 3) \Leftrightarrow x^{4} + x^{2} + 20 = x^{4} + 5 x^{2} + 6 \Leftrightarrow 4 x^{2} = 14 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{7}{2} (l o ạ i)$

+ TH3: $y (y + 1) = (x^{2} + 3) (x^{2} + 4) \Leftrightarrow 6 x^{2} = 8 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{4}{3} (l o ạ i)$

+ TH4: $y (y + 1) = (x^{2} + 4) (x^{2} + 5) \Leftrightarrow 8 x^{2} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Với $x^{2} = 0$ ta có $y^{2} + y = 20 \Leftrightarrow y^{2} + y - 20 = 0 \Leftrightarrow y = - 5; y = 4$

Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :

(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).

Câu 2

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 + y)}^{2}} = 1 - x y \\ \Rightarrow (1 + x^{2}) (1 + y^{2}) = {(1 - x y)}^{2} \\ \Leftrightarrow 1 + x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2} = 1 - 2 x y + x^{2} y^{2} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x y = 0 \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} = 0 \Leftrightarrow y = - x \\ \Rightarrow x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = x \sqrt{1 + x^{2}} - x \sqrt{1 + x^{2}} = 0 \end{array}$

Câu 3

Giải phương trình $2 x + 3 + \sqrt{4 x^{2} + 9 x + 2} = 2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{4 x + 1} .$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC
1) Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc MIN.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm các số nguyên k để $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện ${(a + b)}^{3} + 4 a b \leq 12.$ Chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} + 2015 a b \leq 2016.$

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn $x^{4} + x^{2} - y^{2} - y + 20 = 0.$ (1)

Cho x, y là hai số thực thỏa mãn $x y + \sqrt{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = 1.$ Chứng minh rằng $x \sqrt{1 + y^{2}} + y \sqrt{1 + x^{2}} = 0.$

Giải phương trình $2 x + 3 + \sqrt{4 x^{2} + 9 x + 2} = 2 \sqrt{x + 2} + \sqrt{4 x + 1} .$

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x^{2} - y^{2} + x y - 5 x + y + 2 = \sqrt{y - 2 x + 1} - \sqrt{3 - 3 x} \\ x^{2} - y - 1 = \sqrt{4 x + y + 5} - \sqrt{x + 2 y - 2} \end{cases}$

Tìm các số nguyên k để $k^{4} - 8 k^{3} + 23 k^{2} - 26 k + 10$ là số chính phương.