Câu hỏi:

13/07/2024 6,061

Cho a, b là các số dương thỏa mãn điều kiện (a+b)3+4ab12.  Chứng minh bất đẳng thức 11+a+11+b+2015ab2016.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Ta có 12(a+b)3+4ab2ab3+4ab. Đặt t=ab,t>0 thì

128t3+4t22t3+t230(t1)(2t2+3t+3)0 

Do 2t2+3t+3>0,t nên t10t1. Vậy 0<ab1 

Chứng minh được 11+a+11+b21+ab,a,b>0 thỏa mãn ab1 

Thật vậy, BĐT 11+a11+ab+11+b11+ab0 

aba(1+a)(1+ab)+abb(1+b)(1+ab)0ba1+aba1+ab1+b(ba)2(ab1)(1+ab)(1+a)(1+b)0 

 

Do 0<ab1 nên BĐT này đúng

Tiếp theo ta sẽ CM 21+ab+2015ab2016,a,b>0 thỏa mãn ab1

Đặt t=ab,0<tt ta được 21+t+2015t22016 

2015t3+2015t22016t20140(t1)(2015t2+4030t+2014)0 

BĐT này đúng t:0<t1 

Vậy 11+a+11+b+2015ab2016. Đẳng thức xảy ra a = b = 1

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Ta có (1) x4+x2+20=y2+y

Ta thấy: x4+x2<x4+x2+20x4+x2+20+8x2x2(x2+1)<y(y+1)(x2+4)(x2+5)

Vì x, y Z nên ta xét các trường hợp sau

+ TH1. y(y+1)=(x2+1)(x2+2)x4+x2+20=x4+3x2+22x2=18x2=9x=±3

Với x2=9 y2+y=92+9+20y2+y110=0y=10;y=11(t.m)

+ TH2 y(y+1)=(x2+2)(x2+3)x4+x2+20=x4+5x2+64x2=14x2=72 (loi)

+ TH3: y(y+1)=(x2+3)(x2+4)6x2=8x2=43 (loi)

+ TH4: y(y+1)=(x2+4)(x2+5)8x2=0x2=0x=0

Với x2=0 ta có y2+y=20y2+y20=0y=5;y=4

Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :

(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).

Lời giải

xy+(1+x2)(1+y2)=1(1+x)2(1+y)2=1xy(1+x2)(1+y2)=1-xy21+x2+y2+x2y2=12xy+x2y2x2+y2+2xy=0x+y2=0y=xx1+y2+y1+x2=x1+x2x1+x2=0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP