Cho tam giác ABC, có AB = AC, M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB.

a) Chứng minh $\Delta ABM=\Delta ACN\&\Delta BMC=\Delta CNB$

b) Lấy E, F sao cho M là trung điểm của BE, N là trung điểm của CF. Chứng min A là trung điểm của EF

c) Chứng minh MN song song với BC và EF

a) Vì M là trung điểm của AC(gt) => AM = MC = $\frac{AC}{2}$

Vì N là trung điểm của AB (gt) => AN = BN = $\frac{AB}{2}$

=> AM = AN = BN = CM

Mà AB = AC (gt)

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACN$, có:

AM = AN (Cmt)

$\widehat{BAC}$ chung

AB = AC(gt)

=> $∆ABM =∆ACN$(c-g-c) => BM = CN ( 2 cạnh tương ứng bằng nhau)

Xét $∆BMC và ∆CNB$, có:

BM = CN (cmt)

BN = CM (cmt)

BC chung

Suy ra $∆BMC = ∆CNB$(c-c-c)

b) Vì N là trung điểm của CF (gt) => FN = CN

Vì M là trung điểmcủa BE (gt) => BM = ME

Xét $∆FAN\hspace{0.17em}và ∆CBN$ có:

NF = NC (Cmt)

$\widehat{FNA}=\widehat{CNB}$( đối đỉnh)      => $∆FAN\hspace{0.17em}= ∆CBN$ (c-g-c) => $\left\{\begin{array}{ll}FA=CB& \\ \widehat{FAN}=\widehat{CBN}& \end{array}\right.$

NB = NA (Cmt)

Mà $\widehat{FAN }và \widehat{CBN}$ nằm ở vị trí so le trong, cát tuyến AB => FA // BC mà FA = BC (1)

Chứng minh tương tự có $∆EAM =∆BCM$ => $\left\{\begin{array}{l}EA = CB\\ \widehat{EAM}=\widehat{BCM}\end{array}\right.$. Mà $\widehat{EAM} và \widehat{BCM}$ nằm ở vị trí so le trong, cát tuyến AC => AE = BC & AE //BC(2)

Từ (1) và (2), suy ra A là trung điểm của EF

c) Theo b) có EF // BC(3)

Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của NP. Chứng minh $∆AMN = ∆CMP(c-g-c)$

$\widehat{ANM}=\widehat{CPM}$ => AB//CP => $\widehat{BNC}=\widehat{PCN}\left(slt\right)$.

Chứng minh $∆BNC=∆PCN\left(c-g-c\right)\Rightarrow \dot{\widehat{NBC}=\widehat{CPN}} \Rightarrow \Rightarrow \dot{\widehat{NBC}=\widehat{ANM}}$. Mà $\dot{\widehat{NBC} và \widehat{ANM}}$ nằm ở vị trí đồng vị

Suy ra MN // BC (4). Từ (3) và (4) suy ra MN // BC // EF