Cho (P): y = –$\frac{x^2}{4}$ và đường thẳng (d): y = m(x – 1) – 2

a, Vẽ đồ thị (P)

b, Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi. Gọi x_A ,x_B lần lượt là hoành độ của A và B. Xác định m để x_A²x_B + x_B² x_A đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó?

a, ∠ACB = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FCE = ${90}^0$

∠ADB = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FDE = ${90}^0$

Xét tứ giác CEDF có:

∠FCE = ${90}^0$

∠FDE = ${90}^0$

=> ∠FCE + ∠FDE = ${180}^0$

=> Tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b, Xét ΔAFD và ΔBFC có:

∠AFB là góc chung

∠ADF = ∠BCF = ${90}^0$

=> ΔAFD ∼ ΔBFC

=> $\frac{FA}{FB}$ = $\frac{FD}{FC}$

=> FA.FC = FB.FD

c, Do ∠FCE = ${90}^0$. Nên FE là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Do đó trung điểm I của FE là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân tại I

=> CFI = ∠FCI

Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{EC}$)

Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA(2 góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AC}$)

ΔAOB cân tại O =>∠BCO = ∠CBA

=> ∠FCI = ∠BCO

=> ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI <=> ∠FCE = ∠ICO

=> ∠ICO = ${90}^0$

Vậy IC là tiếp tuyến của (O)

d, Chứng minh tương tự câu c, ta có ∠IDO) = ${90}^0$

Xét tứ giác ICOD có:

∠ICO = ∠IDO = ∠COD = 90^o

=> Tứ giác ICOD là hình chữ nhật

Lại có OC = OD = R

=> Tứ giác ICOD là hình vuông.

Có OI là đường chéo hình vuông cạnh R

=> OI = R$\sqrt{2}$

O cố định, do đó I thuộc đường tròn tâm O, bán kính R$\sqrt{2}$ cố định

Gọi khối lượng thép chứa 10% Cacbon cần dùng là x (tấn)

=> Khối lượng Cacbon có trong x tấn thép 10% Cacbon là 10% x = 0,1x (tấn)

Khối lượng thép chứa 20% Cacbon cần dùng là y ( tấn)

=> Khối lượng Cacbon có trong x tấn thép 20% Cacbon là 20% x = 0,2y (tấn)

Theo bài ra cần tạo 1000 tấn thép chứa 16% Cacbon nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x+y=1000\\ 0,1x+0,2y=1000.16\%\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=1000\\ x+2y=1600\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=600\\ x=400\end{array}\right.\right.$

Vậy cần 400 tấn thép loại 10% Cacbon

600 tấn thép loại 20% Cacbon