Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm nằm bất kì trên đường tròn sao cho C ≠ A,B và AC < CB. D thuộc cung nhỏ BC sao cho ∠DOC = ${90}^0$. E là giao điểm của AD và BC; F là giao điểm của AC và BD

a, Chứng minh rằng tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh rằng FC. FA = FD. FB

c, I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của (O)

d, Khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện của bài toán thì I thuộc đường tròn cố định nào?

a, ∠ACB = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FCE = ${90}^0$

∠ADB = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FDE = ${90}^0$

Xét tứ giác CEDF có:

∠FCE = ${90}^0$

∠FDE = ${90}^0$

=> ∠FCE + ∠FDE = ${180}^0$

=> Tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b, Xét ΔAFD và ΔBFC có:

∠AFB là góc chung

∠ADF = ∠BCF = ${90}^0$

=> ΔAFD ∼ ΔBFC

=> $\frac{FA}{FB}$ = $\frac{FD}{FC}$

=> FA.FC = FB.FD

c, Do ∠FCE = ${90}^0$. Nên FE là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Do đó trung điểm I của FE là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân tại I

=> CFI = ∠FCI

Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{EC}$)

Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA(2 góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{AC}$)

ΔAOB cân tại O =>∠BCO = ∠CBA

=> ∠FCI = ∠BCO

=> ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI <=> ∠FCE = ∠ICO

=> ∠ICO = ${90}^0$

Vậy IC là tiếp tuyến của (O)

d, Chứng minh tương tự câu c, ta có ∠IDO) = ${90}^0$

Xét tứ giác ICOD có:

∠ICO = ∠IDO = ∠COD = 90^o

=> Tứ giác ICOD là hình chữ nhật

Lại có OC = OD = R

=> Tứ giác ICOD là hình vuông.

Có OI là đường chéo hình vuông cạnh R

=> OI = R$\sqrt{2}$

O cố định, do đó I thuộc đường tròn tâm O, bán kính R$\sqrt{2}$ cố định