Cho phương trình bậc hai: $x^2-mx+m-1=0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁ ; x₂ sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất

R = $\frac{2x_1{x}_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(1+x_1{x}_2\right)}$

Tìm giá trị lớn nhất đó

1. Xét tứ giác BFEC có:

∠BFC = ${90}^0$ (CF là đường cao)

∠BEC = ${90}^0$ (BE là đường cao)

=> 2 đỉnh E và F cùng nhìn BC dưới một góc bằng nhau

=> Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

2. Xét ΔABE và ΔACF có:

∠BAC là góc chung

∠AEB = ∠AFC = ${90}^0$

=> ΔABE ∼ ΔACF (g.g)

=> $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{AE}{AF}$

=> AB.AF = AC.AE

3. Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp

=> ∠EFC = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Xét (O) có: ∠CNM = ∠EBC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)

=> ∠EFC = ∠CNM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // MN

4. Kẻ đường kính AA', Nối A'H cắt BC tại K

Ta có: ∠ABA' = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AB ⊥ BA'

HC ⊥ AB (HC là đường cao)

=> BA' // HC

Tương tự: ∠ ACA' = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=> AC ⊥ CA'

HB⊥AC (BH là đường cao)

=> CA' // HB

Xét tứ giác BA'CH có:

$\left\{\begin{array}{l}BA\text{'}//HC\\ CA\text{'}//HB\end{array}\right.$ => Tứ giác BA' CH là hình bình hành

2 đường chéo BC và A'H giao nhau tại K

=> K là trung điểm của A'H và BC

Do B, C,O cố định nên OK cố định

Xét tam giác AHA' có:

O là trung điểm của AA'

K là trung điểm của A'H

=> OK là đường trung bình của tam giác AHA'

=> OK = 1/2AH => AH = 2OK

Ta có:

4S_AHE = 2AE.EH => AE² + EH² = AH² = 4OK²

=> S_AHE => OK²

Dấu bằng xảy ra khi AE = EH

=> ΔAHE cân tại E => ∠HAE = ${45}^0$ => ∠CAB = ${45}^0$

Vậy điểm A nằm trên đường tròn sao cho ∠CAB = ${45}^0$

a, Khi m = 2, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}2x+y=5\\ 4x+3y=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}4x+2y=10\\ 4x+3y=6\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=-4\\ 4x+3y=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=-4\\ x=9/2\end{array}\right.\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (9/2;–4)

b, $\left\{\begin{array}{l}mx+y=5\\ 2mx+3y=6\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=5-mx\\ 2mx+3\left(5-mx\right)=6\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}y=5-mx\\ mx=9\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}y=-4\\ mx=9\end{array}\right.\right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m ≠ 0

Khi đó, hệ phương trình có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}y=-4\\ x=9/m\end{array}\right.$

Theo bài ra: (2m – 1)x + (m + 1)y = m

⇔ (2m – 1). 9/m + (m+1)( –4) = m

⇔ 18 – 9/m – 4m – 4 = m

=>18m – 9 – 4m² – 4m – m² = 0

⇔ –5m² + 14m – 9 = 0

Đối chiếu với điều kiện thỏa mãn m ≠0

Vậy m = 1 hoặc m = 9/5 thỏa mãn ĐK