1. Cho phương trình: $x^2+2\left(m-1\right)x-\left(m+1\right)=0$

a, Giải phương trình khi m = 2

b, Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1/4. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24. Tìm phân số đó

1.a, Khi m = 2 ta có phương trình:

$x^2+2x-3=0$

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1 và x = –3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; –3}

b, x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

Δ' = (m – 1)² – (m – 1) = (m – 1)(m – 2)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Δ' > 0 ⇔(m – 1)(m – 2) > 0

(*)

Khi đó theo định lí Vi-et ta có:

Phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

⇔ (x₁ – 1)(x₂ – 1)<0

⇔ x₁x₂ – (x₁ + x₂ ) + 1 < 0

⇔ –(m + 1) + 2(m + 1) + 1 < 0

⇔ m + 2 < 0

⇔ m < –2

Đối chiếu với điều kiện (*) thấy thỏa mãn

Vậy với m < –2 thì phương trình có 2 nghiệm trong đó một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

2. Gọi tử số của phân số đó là x

Mẫu số của phân số đó là y (y ≠ 0)

Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1/4

nên ta có phương trình

$\frac{2x}{y+8}=\frac{1}{4}$

=> 8x = y + 8 (1)

Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24 nên ta có phương trình

$\frac{x+7}{3y}=\frac{5}{24}$

=> 24x + 168 = 15y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}8y=y+8\\ 24x+168=15y\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}24x=3y+24\\ 24x+168=15y\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}24x=3y+24\\ 3y+24+168=15y\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}24x+3y=24\\ y=16\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=16\end{array}\right.$

Vậy phân số cần tìm là 3/16