1. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ 3. Chứng minh rằng:

$x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge \frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi nào?

2. Cho x, y thỏa mãn 0 < x < 1; 0 < y < 1 và $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1$

Tính giá trị của biểu thức P = $x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}$

1. Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC = R$\sqrt{3}$ A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N

a, Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh AE.AB = AD.AC

c, Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng F, I, H thẳng hàng

2. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 128π $c{m}^2$, chiều cao bằng bán kính đáy. Tính thể tích của hình trụ đó

1. Cho phương trình: $x^2+2\left(m-1\right)x-\left(m+1\right)=0$

a, Giải phương trình khi m = 2

b, Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1/4. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24. Tìm phân số đó

Cho các đường thẳng sau:

(d₁): y = x – 2

(d₂): y = 2x – 4

(d₃): y = mx + m + 2

a, Tìm điểm cố định mà (d₃) luôn đi qua với mọi m

b, Tìm m để 3 đường thẳng trên đồng quy

1. Rút gọn biểu thức sau:

A = $\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}-\frac{3}{\sqrt{3}}$

2. B = $\frac{x^2+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}-\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$ với x > 0

Rút gọn biểu thức P = $\sqrt{B+x+1}$