1. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x + y ≥ 3. Chứng minh rằng:

$x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge \frac{9}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi nào?

2. Cho x, y thỏa mãn 0 < x < 1; 0 < y < 1 và $\frac{x}{1-x}+\frac{y}{1-y}=1$

Tính giá trị của biểu thức P = $x+y+\sqrt{x^2-xy+y^2}$

1.

a, Xét tứ giác BEDC có:

∠BEC = ${90}^0$ (CE là đường cao)

∠BDC = ${90}^0$ (BD là đường cao)

=> Hai đỉnh D và E cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

b, Xét ΔAEC và ΔADB có:

∠BAC là góc chung

∠AEC = ∠BDA = ${90}^0$

=> ΔAEC ∼ ΔADB (g.g)

=> $\frac{AE}{AD}$ = $\frac{AC}{AB}$

=> AE.AB = AC.AD

c, Ta có:

∠FBA = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>FB⊥AB

Lại có: CH⊥AB (CH là đường cao)

=> CH // FB

Tương tự,( FCA) = ${90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

=>FC⊥AC

BH là đường cao => BH ⊥AC

=> FC // BH

Xét tứ giác CFBH có:

CH // FB

FC // BH

=> Tứ giác CFBH là hình bình hành.

Mà I là trung điểm của BC

=> I cũng là trung điểm của FH

Hay F, I, H thẳng hàng

2. Diện tích xung quanh của hình trụ:

S = 2πRh = 2πR² = 128π (do chiều cao bằng bán kính đáy)

=> R = 8 cm ; h = 8cm

Thể tích của hình trụ là

V = πR² h = π.8².8 = 512π (cm³)

1.a, Khi m = 2 ta có phương trình:

$x^2+2x-3=0$

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1 và x = –3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; –3}

b, x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

Δ' = (m – 1)² – (m – 1) = (m – 1)(m – 2)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Δ' > 0 ⇔(m – 1)(m – 2) > 0

(*)

Khi đó theo định lí Vi-et ta có:

Phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

⇔ (x₁ – 1)(x₂ – 1)<0

⇔ x₁x₂ – (x₁ + x₂ ) + 1 < 0

⇔ –(m + 1) + 2(m + 1) + 1 < 0

⇔ m + 2 < 0

⇔ m < –2

Đối chiếu với điều kiện (*) thấy thỏa mãn

Vậy với m < –2 thì phương trình có 2 nghiệm trong đó một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

2. Gọi tử số của phân số đó là x

Mẫu số của phân số đó là y (y ≠ 0)

Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1/4

nên ta có phương trình

$\frac{2x}{y+8}=\frac{1}{4}$

=> 8x = y + 8 (1)

Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24 nên ta có phương trình

$\frac{x+7}{3y}=\frac{5}{24}$

=> 24x + 168 = 15y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}8y=y+8\\ 24x+168=15y\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}24x=3y+24\\ 24x+168=15y\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}24x=3y+24\\ 3y+24+168=15y\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}24x+3y=24\\ y=16\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=16\end{array}\right.$

Vậy phân số cần tìm là 3/16