1. Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC = R$\sqrt{3}$ A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N

a, Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh AE.AB = AD.AC

c, Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng F, I, H thẳng hàng

2. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 128π $c{m}^2$, chiều cao bằng bán kính đáy. Tính thể tích của hình trụ đó

1. Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi:

2. Từ giả thiết 0 < x < 1; 0 < y < 1 nên ta có:

Mà  nên:

⇔2x + 2y – 1 = 3xy

= x + y + 1 – x – y = 1 (do x + y ≤ 1)

Vậy P = 1

1.a, Khi m = 2 ta có phương trình:

$x^2+2x-3=0$

Phương trình có dạng a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1 và x = –3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; –3}

b, x² + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0

Δ' = (m – 1)² – (m – 1) = (m – 1)(m – 2)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Δ' > 0 ⇔(m – 1)(m – 2) > 0

(*)

Khi đó theo định lí Vi-et ta có:

Phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

⇔ (x₁ – 1)(x₂ – 1)<0

⇔ x₁x₂ – (x₁ + x₂ ) + 1 < 0

⇔ –(m + 1) + 2(m + 1) + 1 < 0

⇔ m + 2 < 0

⇔ m < –2

Đối chiếu với điều kiện (*) thấy thỏa mãn

Vậy với m < –2 thì phương trình có 2 nghiệm trong đó một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1

2. Gọi tử số của phân số đó là x

Mẫu số của phân số đó là y (y ≠ 0)

Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1/4

nên ta có phương trình

$\frac{2x}{y+8}=\frac{1}{4}$

=> 8x = y + 8 (1)

Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng 5/24 nên ta có phương trình

$\frac{x+7}{3y}=\frac{5}{24}$

=> 24x + 168 = 15y (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}8y=y+8\\ 24x+168=15y\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}24x=3y+24\\ 24x+168=15y\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}24x=3y+24\\ 3y+24+168=15y\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}24x+3y=24\\ y=16\end{array}\right.\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=16\end{array}\right.$

Vậy phân số cần tìm là 3/16