Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M; N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K

a, Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp

b, Chứng minh MK.MN = MI.MC

c, Chứng minh tứ giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi

a, Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{AN}=\stackrel{⏜}{CN}$)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b, Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{AM}$)

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => $\frac{MN}{MC}$ = $\frac{MI}{MK}$ => MN.MK = MC.MI

c, Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{AM}$)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = ${180}^0$ (1)

Xét đường tròn (O) có

$\widehat{ANK}=\widehat{ACM}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

và $\widehat{NAK}=\widehat{NCA}$ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{AN}=\stackrel{⏜}{CN}$)

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = ${180}^0$ (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> $\widehat{KIN}=\widehat{KCN}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KN)

và $\widehat{IKC}=\widehat{BNC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IC) (*)

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

=> $\left\{\begin{array}{l}\widehat{KIN}=\widehat{ABN}\\ \widehat{BAC}=\widehat{IKC}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AH//KI\\ AK//HI\end{array}\right.\right.$

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi