Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P = $\frac{ab}{a^2+2b^2}$

a, Xét tứ giác HMBI có:

∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{AN}=\stackrel{⏜}{CN}$)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI

=> Tứ giác BMHI nội tiếp

b, Xét ΔMNI và ΔMKC có:

∠KMC là góc chung

∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{AM}$)

=> ΔMNI ∼ ΔMCK => $\frac{MN}{MC}$ = $\frac{MI}{MK}$ => MN.MK = MC.MI

c, Xét tứ giác NKIC có:

∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{AM}$)

Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = ${180}^0$ (1)

Xét đường tròn (O) có

$\widehat{ANK}=\widehat{ACM}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)

và $\widehat{NAK}=\widehat{NCA}$ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\stackrel{⏜}{AN}=\stackrel{⏜}{CN}$)

=> ∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xét tam giác AKN có: ∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = ${180}^0$ (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:

∠NKI = ∠NKA

KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

=> ΔIKN = ΔAKN

=> IK=AK =>ΔAKI cân tại K

Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> $\widehat{KIN}=\widehat{KCN}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KN)

và $\widehat{IKC}=\widehat{BNC}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IC) (*)

Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))

=> $\left\{\begin{array}{l}\widehat{KIN}=\widehat{ABN}\\ \widehat{BAC}=\widehat{IKC}\end{array}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AH//KI\\ AK//HI\end{array}\right.\right.$

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Mà IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi

1. 2x⁴ + x² – 6 = 0

Đặt x² = t ( t ≥ 0), phương trình trở thành:

2t² + t – 6 = 0

Δ = 1 – 4.2.( –6) = 49

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Do t ≥ 0 nên t = 3/2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 

2.a, Với m = –1, (d): y = –x + 2

(P): y = x²

Bảng giá trị:

Đồ thị (P): y = x² là 1 đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0;0) làm đỉnh

y = –x + 2

Bảng giá trị:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = –x + 2 ⇔ x² + x – 2 = 0

=> Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = –2

Khi đó tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1) và (–2; 4)

b, Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x² = mx + 2 ⇔ x² – mx – 2 = 0

Δ = m² – 4.( –2) = m² + 8 > 0 ∀m

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi-et ta có:

Theo bài ra: x₁ – 2x₂ = 5 ⇔ x₁ = 2x₂ + 5

=> (2x₂ + 5) x₂ = –2 ⇔ 2x₂² + 5x₂ + 2 = 0

Khi đó: 

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài là m = –1 ; m = 7/2