Xét sự biến thiên của các hàm số.

❶ $y=f\left(x\right)=2x^2$ trong $\left(0;+\infty \right)$

❷ $y=f\left(x\right)=-6x^2$ trong $\left(0;+\infty \right)$

❸ $y=f\left(x\right)=x^2+2x+3$

❹ $y=f\left(x\right)=-x^2+4x+1$

❶ Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{2x_1^2-2x_2^2}{x_1-x_2}=2(x_1+x_2)>0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❷  Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-6x_1^2+6x_2^2}{x_1-x_2}=-6(x_1+x_2)<0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❸ Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

❹ Với $x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4<0,\forall x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4>0,\forall x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;2\right)$