Tìm m để hàm số sau xác định trên (1; 3)

$y=\sqrt{-x+2m-1}-\frac{1}{2x-m}$

❶ Vì $a=2>0$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$

❷ Vì $a=-3<0$ nên hàm số nghịch biến trên $ℝ$

❸ Vì $a=m^2+1>0,\forall m$ nên hàm số đồng biến trên $ℝ$

❹ Với $m>0$, hàm số đồng biến trên $ℝ,m<0$ hàm số nghịch biến trên $ℝ$

❶ Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{2x_1^2-2x_2^2}{x_1-x_2}=2(x_1+x_2)>0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❷  Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-6x_1^2+6x_2^2}{x_1-x_2}=-6(x_1+x_2)<0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❸ Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

❹ Với $x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4<0,\forall x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4>0,\forall x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;2\right)$