Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Ở phía ngoài tam giác vẽ các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC. Qua A vẽ đường thẳng (d) cắt các nửa đường tròn trên theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng

1. Nếu (d) song song với BC thì BEFC là hình bình hành.

2. Nếu (d) vuông góc với trung tuyến AM của tam giác ABC thì AE=AF.

Cho đường tròn (O; R) và hai bán kính OA, OB. Trên các bán kính OA, OB lần lượt là các điểm M, N sao cho OM=ON. Vẽ dây CD qua M và N (M nằm giữa C và N)

1. Chứng minh rằng CM = DN.

2. Giả sử $\widehat{AOB}={90}^0$ hãy tính OM, ON theo R sao cho CM = MN = ND.

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của OA và OB. Qua M và N lần lượt với các dây cung CD và EF song song với nhau (C và E cùng nằm trên một nửa đường tròn đường kính AB).

1. Chứng minh tứ giác CDFE là hình chữ nhật.

2. Giả sử CD và EF cùng tạo với AB một góc nhọn là $30°$, tính diện tích hình chữ nhật CDFE.

Cho đường tròn (O; R) và một dây cung AB = 2a (a<R). Gọi I là trung điểm của AB. Tia OI cắt cung $\stackrel{⏜}{AB}$ tại M. Tính độ dài của dây cung MA

Cho đường tròn (O), dây AB bằng 2a và khoảng cách từ đó tới tâm bằng h. Gọi I là trung điểm của AB. Tia OI cắt đường tròn tại C.

1. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân

2. Tính khoảng cách từ O đến BC

Cho đường tròn (O) và điểm P ở bên trong đường tròn. Chứng minh rằng trong tất cả các dây cung đi qua P thì dây cung vuông góc với bán kính qua P là dây cung ngắn nhất.

Cho đường tròn (O; R). Tìm quỹ tích trung điểm M của dây AB sao cho $\widehat{AOB}={120}^0$