Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c và diện tích bằng S. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại $A_1,B_1,C_1$. Giả sử tam giác $A_1{B}_1{C}_1$có độ dài ba cạnh tương ứng là $a_1,b_1,c_1$ chứng minh rằng: $\frac{a_1}{a}+\frac{b_1}{b}=2\left(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}\right).\sin \frac{C}{2}$

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB= 6cm, AC=8 cm. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự ở D, E

1. Tính $\widehat{BIC}$.

2. Tính diện tích tứ giác ADIE.

Cho tam giác ABC biết BC = 6. Lấy E, F theo thứ tự thuộc AB, AC sao cho EF song song với BC và tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính chu vi tam giác ABC biết EF= 2 cm

Cho (O; R). Tìm quỹ tích của điểm A mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (O; R).

Cho tam giác ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A, O là trung điểm của IK.

1. Khẳng định bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O là đúng hay sai?

2. Khẳng định AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) là đúng hay sai?

Cho tam giác ABC đều. Dựng tiếp tuyến a của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết tiếp tuyến đi qua điểm A. Dựng các tiếp tuyến b, c của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết rằng các tiếp tuyến này theo thứ tự đi qua điểm B, C. Giả sử b cắt c tại D. Khẳng định tam giác BCD đều là đúng hay sai?

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Tìm tập hợp các đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng đó.