Cho hình vuông A’B’C’D’ nằm trong hình vuông ABCD sao cho thứ tự các đỉnh theo cùng một chiều như nhau (tức là nếu vẽ hai đường tròn, mối đường tròn đi qua các đỉnh của một hình vuông, thì chiều đi trên đường tròn từ A lần lượt B, C, D và từ A’ lần lượt qua B’, C’, D’ là như nhau). Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AA’, BB’, CC’, DD’ là đỉnh của một hình vuông.

Cho hình vuông ABCD, điểm M nằm trên đường chéo AC. Gọi E, F theo thứ tự là các hình chiếu của M trên AD, CD. Chứng minh rằng:

1. BM vuông góc với EF.

2. Các đường thẳng BM, AF, CE đồng quy.

Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, AB sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên BE. Tính $\widehat{CHF}$

Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFG có tâm theo thứ tự M, N. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của EG, BC.

1. Chứng minh rằng KMIN là hình vuông

2. Nếu tam giác ABC có BC cố định và đường cao tương ứng bằng h không đổi thì I chuyển động trên đường tròn nào?

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD, điểm F thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng chu vi tam giác CEF bằng nửa chu vi hình vuông khi và chỉ khi $\widehat{EAF}=45°$

Cho điểm M thuộc cạnh CD của hình vuông ABCD. Tia phân giác của góc ABM cắt AD ở I. Chứng minh $BI\le 2MI$.

Cho hình vuông ABCD. Điểm E nằm trong hình vuông sao cho tam giác ECD cân có góc đáy bằng $15°$. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

Cho hình vuông ABCD, điểm M thuộc cạnh AB. Tia phân giác của góc MCD cắt cạnh AD ở N. Cho biết BM = m, DN = n. Tính độ dài CM theo m và n.