Cho góc xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc. Một đường thẳng thay đổi vị trs nhưng luôn đi qua M cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự ở A, B. Gọi $S_1, S_2$ theo thứ tự là diện tích các tam giác MOA, MOB. Chứng minh rằng tổng $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$ có giá trị không đổi

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân tại B, ACF vuông cân tại C. Gọi h là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng:

1. AH = AK

2. $A{H}^2=BH.CK$

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:

1. $A{E}^2=EK.EG$

2. $\frac{1}{AE}=\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}$

3. Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không đổi.

Cho hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, K là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng KO cắt AB, CD theo thứ tự ở M, N. Chứng minh rằng:

1. $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{NC}$

2. $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{ND}$

3. MA=MB; NC=ND.

Cho tam giác ABC có $\hat{A}=120°$, AB=3cm, AC=6cm. Tính độ dài đường phân giác AD.

Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối của tia BC sao cho BN = CM. Các đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng $A{E}^2=EB.EF$

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 2DC. Chứng minh rằng BM vuông góc với AD.

Cho tam giác có ba góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng đi qua H cắt AB, AC theo thứ tự ở P, Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng HM vuông góc với PQ.