Cho f (x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right).f\left(a-x\right)=1\\ f\left(x\right)>0,\forall x\in \left[0;a\right]\end{array}\right.$ và $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}=\frac{ba}{c}$, trong đó b, c là hai số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol $\left(P\right) :y=x^2$ và hai đường thẳng y=a, y=b (0<a<b) (hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) và đường thẳng y = a (phần tô đen); $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P), đường thẳng y = a và đường thẳng y = b (phần gạch chéo). Với điều  kiện nào sau đây của a và b thì $S_1 = S_2$:

Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng

Đặt S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=4-x^2$, trục hoành và đường thẳng x=-2, x=m, (-2<m<2). Tìm số giá trị của tham số m để $S=\frac{25}{3}$

Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t)=7t (m/s). Đi được 5s người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-35(m/s^2)$. Tính quãng đường của ô tô đi được lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [1;2] thỏa mãn f(1)=4 và $f\left(x\right)=xf\text{'}\left(x\right)-2x^3-3x^2$. Tính giá trị f(2)

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh (1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.

Biết rằng $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{{\ln }^{2}x+\ln x}{{\left(\ln x+x+1\right)}^3}dx=\frac{a{e}^2+be-12}{8{\left(e+2\right)}^2}$ với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b – a bằng