Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E không trùng với D). Số đo góc HEC là:

Đáp án D

* Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn nên A đúng

* Gọi MO $\cap$ EF = {H}

Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến ME và MF của (O)

$\Rightarrow$ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)

$\Rightarrow$ MO là đường trung trực của EF

$\Rightarrow MO \perp EF\Rightarrow \widehat{IFE}+\widehat{OIF}= {90}^o$

Vì OI = OF = R nên tam giác OIF cân tại O

$\Rightarrow \widehat{OIF}=\widehat{OFI}$ mà $\widehat{MFI}+\widehat{OFI} = {90}^o; \widehat{IFE}+\widehat{OIF} = {90}^o$

$\Rightarrow \widehat{MFI} = \widehat{IFE}$

$\Rightarrow$ FI là phân giác của $\widehat{MFE}$ (1)

Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến ME và MF của (O)

$\Rightarrow$ MI là phân giác của $\widehat{EMF}$ (tính chất) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF

Đáp án A

* Vì ME là tiếp tuyến của (O) nên ME vuông góc với OE, suy ra tam giác MOE nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Vì MF là tiếp tuyến của (O) nên MF vuông góc với OF, suy ra tam giác MOF nội tiếp đường tròn đường kính MO (1)

Từ (1) và (2) suy ra M, E, O, F cùng thuộc một đường tròn.

* Gọi MO $\cap$ EF = {H}

Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến ME và MF của (O)

$\Rightarrow$ ME = MF (tính chất) mà OE = OF = R (gt)

$\Rightarrow$ MO là đường trung trực của EF

$\Rightarrow$ MO $\perp$ EF

Gọi G là giao điểm của tia DF và tia EM

Ta có $\widehat{EFD} = {90}^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow$ EF $\perp$ DG mà

EF $\perp$ OM (cmt) $\Rightarrow$ OM // DG (từ vuông góc đến song song)

Tam giác EDG có OE = OD; OM // DG $\Rightarrow$ ME = MG (tính chất đường trung bình)

Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác EDM có OK // ME (cùng vuông góc với ED) ta được: $\frac{PK}{ME}=\frac{DP}{DM}$ (3)

Áp dụng định lý Ta-lét cho tam giác MDG có PF// MG (cùng vuông góc với ED) ta được: $\frac{PF}{MG}=\frac{DP}{DM}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\frac{PK}{ME}=\frac{PF}{MG}$ mà ME = MG (cmt)

$\Rightarrow$ PK = PF $\Rightarrow$ P là trung điểm của FK. Suy ra $FP = PK =\frac{4}{2}= 2cm$