Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=\frac{x-m^2-2}{x-m}$ trên đoạn $\left[0;4\right]$ bằng – 1.

Ta có:  $y\text{'}=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)$

Cho  $y\text{'}=0\iff 3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)=0\iff x^2-2mx+m^2-1=0$

Ta có: $\Delta \text{'}=m^2-m^2+1=1>0$, khi đó phương trình  có 2 nghiệm phân biệt:  $\left[\begin{array}{c}{x}_1=m+1\\ x_2=m-1\end{array}\right.$

Ta có BBT:

Ta có:

$f\left(m-1\right)=m^3-3m+2022$

$f\left(m+1\right)=m^3-3m+2018$

TH1:  $0<m-1\iff m>1$

Ta có:  $f\left(0\right)=2020$

Để hàm số có GTNN trên $\left(0;+\infty \right)$ thì $f\left(m+1\right)\le f\left(0\right)\iff m^3-3m+2018\le 2020$

$\iff m^3-3m-2\le 0$

Xét hàm số $f\left(m\right)=m^3-3m-2$ ta có  $f\text{'}\left(m\right)=3m^2-3=0\iff m=\pm 1$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy  $f\left(m\right)\le 0\iff m\le 2$

Kết hợp điều kiện  $\Rightarrow 1<m\le 2$

TH2: $m-1\le 0<m+1\iff -1<m\le 1$, khi đó GTNN của hàm số trên $\left(0;+\infty \right)$ là  $f\left(m+1\right)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có: $\left[\begin{array}{c}1<m\le 2\\ -1<m\le 1\end{array}\right.$ mà  $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{0;1;2\right\}$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Đặt  $M\left(x;\frac{x+1}{x-1}\right)\in \left(C\right)$

Khi đó ta có:  $\left\{\begin{array}{c}d\left(M;Ox\right)=\left|y_M\right|=\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\\ d\left(M;Oy\right)=\left|x_M\right|=\left|x\right|\end{array}\right.$

Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là  $S=\left|x\right|+\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\ge \left|x+\frac{x+1}{x-1}\right|$

Dấu bằng xảy ra khi  $x.\frac{x+1}{x-1}\ge 0\iff \left[\begin{array}{c}x>1\\ -1\le x\le 0\end{array}\right.$

Đặt  $f\left(x\right)=x+\frac{x+1}{x-1}=\frac{x^2+1}{x+1}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1-\sqrt{2}\\ x=1+\sqrt{2}\end{array}\right.$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy  $\left|x+\frac{x+1}{x-1}\right|\ge \left|2-2\sqrt{2}\right|=2\sqrt{2}-2$

Dấu bằng xảy ra khi  $x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\Rightarrow x_M+y_M=2-2\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B