Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị là $\left(C\right)$. Gọi $M\left(x_M;y_M\right)$ là một điểm bất kì trên (C). Khi tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất, tính tổng  $x_M+y_M$

Ta có:  $y\text{'}=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)$

Cho  $y\text{'}=0\iff 3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)=0\iff x^2-2mx+m^2-1=0$

Ta có: $\Delta \text{'}=m^2-m^2+1=1>0$, khi đó phương trình  có 2 nghiệm phân biệt:  $\left[\begin{array}{c}{x}_1=m+1\\ x_2=m-1\end{array}\right.$

Ta có BBT:

Ta có:

$f\left(m-1\right)=m^3-3m+2022$

$f\left(m+1\right)=m^3-3m+2018$

TH1:  $0<m-1\iff m>1$

Ta có:  $f\left(0\right)=2020$

Để hàm số có GTNN trên $\left(0;+\infty \right)$ thì $f\left(m+1\right)\le f\left(0\right)\iff m^3-3m+2018\le 2020$

$\iff m^3-3m-2\le 0$

Xét hàm số $f\left(m\right)=m^3-3m-2$ ta có  $f\text{'}\left(m\right)=3m^2-3=0\iff m=\pm 1$

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy  $f\left(m\right)\le 0\iff m\le 2$

Kết hợp điều kiện  $\Rightarrow 1<m\le 2$

TH2: $m-1\le 0<m+1\iff -1<m\le 1$, khi đó GTNN của hàm số trên $\left(0;+\infty \right)$ là  $f\left(m+1\right)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có: $\left[\begin{array}{c}1<m\le 2\\ -1<m\le 1\end{array}\right.$ mà  $m\in Z\Rightarrow m\in \left\{0;1;2\right\}$

Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

ĐK:  $x\ne m$

Ta có: $y\text{'}=\frac{m^2-m+2}{{\left(x-m\right)}^2}$ nhận thấy $m^2-m+2={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0,\forall m$ nên  $y\text{'}>0\forall m$

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt $GTLN$ trên $\left[0;4\right]\Rightarrow m\notin \left[0;4\right]\iff \left[\begin{array}{c}m<0\\ m>4\end{array}\right.$ 

Suy ra $\underset{\left[0;4\right]}{\max }y=y\left(4\right)=\frac{4-m^2-2}{4-m}$. Theo bài ra ta có:$\frac{4-m^2-2}{4-m}=-1\Rightarrow -m^2+2=m-4\iff m^2+m+6=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}m=2\left(ktm\right)\\ m=-3\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C