Phát biểu nào sau đây là đúng?

Đáp án B

+ Ta có định lí: nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm $x_0$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_0$ $\Rightarrow$1 đúng.

+ Điều kiện cần để $x_0$ là điểm cực trị của hàm số là: $x_0$ là nghiệm của phương trình $f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow 2$ sai

+ Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và f (x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm $x_0$ thì:

• Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)<0$ thì hàm số f (x) đạt cực đại tại điểm $x_0$
• Nếu $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)>0$ thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại điểm $x_0$
• Nếu $f\text{'}\left(x_0\right)=0$ và $f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không  đạt cực trị tại điểm $x_0$

Khi $\left\{\begin{array}{c}f\text{'}\left(x_0\right)=0\\ f\text{'}\text{'}\left(x_0\right)=0\end{array}\right.$ thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại $x_0$

Ví dụ:

 + TH1: xét hàm $f\left(x\right)=x^4$ có $f\text{'}\left(x\right)=4x^3=0\iff x=0$; $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x^2$ và $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$ nhưng vẫn đạt cực tiểu tại x = 0 vì đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)$ đổi dấu từ âm sang dương qua x = 0.

+ TH2: xét hàm $f\left(x\right)=x^3$ có $f\text{'}\left(x\right)=3x^2=0\iff x=0$ ; $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x\Rightarrow f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$

Trong TH này hàm số có $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=0$ nhưng không đạt cực trị tại x = 0 vì đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=3x^2$ không đổi dấu tại x = 0.

$\Rightarrow$3 và 4 sai

Đáp án B

A sai vì trên đoạn (0; 2) vẫn có cực trị tại x = 1

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 nên B đúng.

C sai vì hàm số đạt cực đại tại x = 1 không phải cực tiểu.

D sai vì đạo hàm không đổi dấu qua x = 0